청소년을 위한 교양 수학: 복소수

루미너리북스 교육출판 에디팅 팀 지음

루미너리북스 2025년 09월 09일 출간

작품소개

책소개

복소수는 16세기 이탈리아 수학자들이 음수의 제곱근이라는 불가능해 보이는 문제를 해결하려 고민하면서 탄생했다. 실수만으로는 해결할 수 없는 방정식들이 발견되면서 허수 단위 i를 정의하게 되었고, 이는 수학사에 혁명적 변화를 가져왔다. 복소수 a+bi의 형태로 표현되는 이 새로운 수 체계는 실부와 허부로 구성되며, 현대 과학기술의 발전에 핵심적 역할을 담당하고 있다. 양자역학, 전자공학, 신호처리 등 첨단 분야에서 복소수 없이는 이론적 설명이 불가능한 현상들이 무수히 많다.

복소수의 사칙연산은 실부끼리 허부끼리 계산하는 덧셈 뺄셈부터 i²=-1을 활용하는 곱셈, 켤레복소수를 이용한 나눗셈까지 체계적으로 정리된다. 가우스가 제안한 복소평면에서는 복소수를 실수축과 허수축으로 구성된 좌표계의 점으로 나타내며, 이를 통해 복소수 연산을 기하학적으로 해석할 수 있다. 복소수의 절댓값은 피타고라스 정리와 연관되어 원점으로부터의 거리를 의미하고, 편각과 극형식 표현을 통해 삼각함수와 자연스럽게 연결된다. 오일러의 놀라운 공식과 드무아브르의 정리는 복소수와 삼각함수 사이의 깊은 관계를 보여준다.

복소함수는 복소수에서 복소수로의 대응관계로 정의되며, 실함수와 달리 고차원 공간에서의 복잡한 거동을 보인다. 복소함수의 극한과 연속성은 무수히 많은 방향에서의 접근을 고려해야 하는 복잡성을 지니고 있다. 복소미분과 정칙함수의 개념은 실함수 미분과 근본적으로 다르며, 코시-리만 조건이라는 놀라운 판별법을 통해 미분가능성을 확인할 수 있다. 복소지수함수, 복소삼각함수, 복소로그함수 등 기본 복소함수들은 실함수와는 전혀 다른 성질을 보이며, 특히 다가성 문제와 가지의 개념이 등장한다.

복소적분과 코시의 정리는 복소해석학의 핵심을 이루며, 단순닫힌곡선 내부에서 정칙인 함수의 선적분이 0이 된다는 놀라운 결과를 제시한다. 코시의 적분공식은 정칙함수의 값이 경계에서의 함수값들에 의해 완전히 결정됨을 보여주고, 테일러 급수와 로랑 급수를 통해 함수의 해석적 성질을 탐구할 수 있다. 특이점의 분류와 유수정리는 복잡한 실적분을 계산하는 강력한 도구가 되며, 등각사상과 조화함수의 이론은 유체역학, 전자기학, 열전도 등 다양한 물리현상을 수학적으로 모델링하는 데 필수적이다. 이러한 이론들은 현대 공학과 물리학에서 실제 문제를 해결하는 핵심 도구로 활용되고 있다.

목차

1. 복소수의 탄생
2. 복소수의 사칙연산
3. 복소평면의 발견
4. 복소수의 절댓값
5. 편각과 극형식
6. 오일러의 공식
7. 드무아브르의 정리
8. 복소수의 n제곱근
9. 복소함수의 개념
10. 복소함수의 극한
11. 복소함수의 연속성
12. 복소미분과 정칙함수
13. 코시-리만 조건
14. 기본 복소함수들
15. 복소적분의 기초
16. 코시의 정리
17. 코시의 적분공식
18. 급수와 수렴성
19. 테일러 급수
20. 로랑 급수
21. 특이점의 분류
22. 유수와 유수정리
23. 실적분의 계산
24. 등각사상의 원리
25. 조화함수와 응용

인물정보

저자(글) 루미너리북스 교육출판 에디팅 팀

루미너리북스 교육 출판 에디팅 팀은 전문 교육 콘텐츠 기획자와 편집자들로 구성되어, 학생들의 눈높이에 맞춘 양질의 교육 도서를 제작하는 데 전념하고 있다. 각 분야별 전문가들과의 긴밀한 협업을 통해 정확하고 이해하기 쉬운 교육 콘텐츠를 개발하며, 특히 고등학생을 위한 대학 과목 선행학습 시리즈와 같은 혁신적인 교육 도서를 기획하고 있다.