물리수학의 핵심

임성민 , 정문교 지음

봄꽃여름숲가을열매겨울뿌리 2023년 03월 03일 출간 종이책 : 2023년 02월 03일 출간

작품소개

책소개

〈물리수학의 핵심〉_힘, 에너지, 작용의 해법을 찾아서

◆ 에너지의 본질을 시간과 공간의 교환관계로 이해

◆ 라그랑주 역학의 변분을 허수로 설명

◆ 오일러 공식의 허수로 시간과 공간을 해부

◆ 회전변환 행렬과 복소평면의 결합으로 4차원 시공간 설명

◆ 힘, 에너지, 작용 관계를 오일러 함수의 순환대칭으로 접근

목차

물리수학 탐색
고전역학, classical mechanics
수ㆍ함수ㆍ방정식 
플라톤 : 입체 기하
데카르트 : 직교 좌표
음수에서 함수로
방정식, equation

뉴턴 운동방정식  
보조법칙
시간이 빠진 케플러 법칙
시간 분석을 시도한 뉴턴
유율법
차분, difference
차분 방정식 가치
F=ma로 시작된 자연과학시대
힘의 원인
기준 좌표계
중심 없는 우주
관성계의 중심

테일러 급수 
수학으로 전개한 차분 방정식
끝이 없는 시간 미분
미분 차수 상승
정적분
테일러 급수의 장점 
한 점에서의 미분 합
근사식으로 활용
물리현상 적용

뉴턴역학의 새로운 접근
에너지의 출현 
힘 : 벡터 물리량
에너지 : 보존되는 스칼라
총체로 드러나는 에너지
열에너지 & 역학적 에너지
뉴턴역학 : 에너지 보존법칙

미분 해법 
2차 함수 변화율
미분 종류 / 미분 해법
물리량, 에너지 
에너지의 발견
역학적 에너지
보존력이 작동하는 보존장
고립계의 역학적 에너지
에너지 보존
운동량 
운동량 보존
에너지 보존법칙 & 운동량 보존법칙
각운동량 보존 : 시공 대칭

고전역학 & 고대 그리스 철학 
아페이론 vs 페라스
우주 자연의 원질, 아르케
물리량, 페라스

에너지 역학
라그랑주 역학 
작용 물리량
최소작용 원리
라그랑주 역학 & 뉴턴역학
최소거리의 기하 구조
시공 대칭 & 힘 대칭
변분법의 허수

변분 calculus of variations 
허수가 끼어든 변분
4차원 시공간 선소
4차원 시공거리
정리 / 라그랑지안
라그랑주 운동방정식
라그랑주 방정식 = 뉴턴 운동방정식
변분법 핵심

해밀턴 역학 
양자함수로 확장
삼각함수, 양자의 기본함수
삼각함수 : 불변량의 회전
오일러 수

오일러 수
지수 함수의 밑수, 오일러 수 
오일러 수 e 특징
베르누이 복리 이자율 계산법
오일러 수 활용

오일러 성장함수 
짧은 순간성장률
성장함수 유도 / 성장계수 r
오일러 성장함수 & 일반 성장함수
일관성을 갖춘 성장함수
연속성장함수
음수가 감소함소로
붕괴상수(decay constant) λ 계산

오일러 공식
오일러 공식 
테일러 급수
미시계를 표현하는 수리언어
거시계의 허수
오일러 공식, 복소평면의 회전함수

복소평면 회전 
불변량
복소평면의 피타고라스 정리
켤레복소수 곱셈

오일러 지수 함수 그래프 
지수 값 0
성장계수, 붕괴상수
켤레복소수 곱셈 = 1

오일러 공식 & 순환 대칭
불변량 
에너지 보존법칙
작용
작용의 절대 불변량

뉴턴역학의 운동방정식 & 대칭성 
운동법칙 & 직선적 시간관
비교될 수 있는 시간
운동방정식 한계
로렌츠 변환

상대성이론 & 순환 대칭 
로렌츠 변환 : 특수상대성
빛 속도가 만드는 시공 회전
4차원 시공간

회전변환 
회전행렬
좌표축 발산
회전행렬 비율
속도에 비례하는 감마계수
불변 물리량 c
4차원 빛시계 회전행렬
발산하지 않는 행렬
병마에 시달린 민코프스키
확률을 꺼려한 아인슈타인

회전변환 행렬 
직각좌표계 & 극좌표계
2차원 좌표계
회전이 만든 좌표변환
극좌표계 탐색
극좌표계 & 회전변환 행렬
회전변환 행렬 미분
회전변환 행렬 = 4차원 빛시계 행렬

양자역학 & 순환 대칭 
양전자
인과율을 따르는 상대성이론
모호성의 역학
플랑크 상수 = 라그랑지안의 작용 물리량
h는 각운동량

복소평면의 허수 
제곱이 만드는 상쇄효과
미분 효과
완전한 순환 대칭 & 복소평면

양자 함수 해법 
슈뢰딩거 방정식
해밀토니안을 활용한 슈뢰딩거 방정식
시간 독립 & 시간 의존
상태방정식
확률값이 만드는 순환 대칭
미시적 양자현상 = 거시적 물리현상

우주의 3가지 기본 상수 
h, 4차원 시공 에너지 진동자
중력상수 G
빛 속도 c
슈바르츠실트 반지름
슈바르츠실트 생애
붕괴하는 4차원 시공간
플랑크 길이 & 플랑크 시간
허수와 실수의 순환 대칭
참고 자료

출판사 서평

1. 뉴턴 시대의 시간과 공간

뉴턴 이전의 과학자들은 물체 위치를 기하적 모습으로 이해했습니다. 물체의 움직임을 분석할 때도 모양이나 형태, 물체가 놓인 상태에 집중했죠. 정지된 기하학에 주목했습니다.

뉴턴은 사물의 모양, 형태, 위치보다는 운동 과정에 관심이 있었습니다. 물체의 운동 과정을 분석해서 위치와 시간의 관계를 알아내고 싶었던 거죠. 기하학을 도구로 활용했다는 얘기입니다.
그는 매 순간 변화하는 물체의 움직임을 머릿속으로 그렸습니다. 기하적 방법을 동원해 이동 궤적을 도형으로 나누고 분석했습니다.

시간과 공간(위치)으로 기술할 수 있는 운동 수식을 찾았던 겁니다. 그 과정에서 알아낸 게 있죠. 시간 단위를 좁혀서 도형을 분석하면 운동하는 물체의 위치를 정확하게 계산할 수 있다는 것.
이게 미분과 적분을 발견할 수 있는 계기가 되었죠.

뉴턴역학에서 시간과 공간은 절대 물리량입니다. 시간과 공간은 서로 개입하지 않습니다.
상대를 간섭하지도 않고 자신의 영역에서 물러서지도 않습니다.

2. 상대성이론의 시간과 공간

20세기 초반이 되면 상대적 시간, 상대적 공간을 언급한 특수상대성이론이 등장합니다. 뉴턴역학의 시공 개념과 배치되는 이론이 소개되었습니다.
‘상대적’이라고 해서 기준 없이 이리저리 마구 떠다니는 물리량으로 받아들이면 안 되겠죠. 상대성이론의 시간과 공간은 부유하는 물리량이 아니니까요. 기준점이 있습니다.
‘빛 속도 c’가 시간과 공간을 조절해주는 자연의 절대 불변량입니다.

c는 단순히 광속도만 나타내는 게 아니라는 얘기죠. 사물의 시간과 공간의 경계를 설정하고 변화의 기준을 제공하는 시공의 불변량입니다. 불변속도 c를 한마디로 표현하면?
‘시간과 공간은 다르지 않다.’입니다.

시간과 공간의 본질이 같다는 건?
불변속도 c를 반지름으로 놓고 회전을 시키면 시간과 공간이 같은 비례 값으로 변환할 수 있는 원을 그립니다. 이 원을 이용하면 시간과 공간의 변화를 계량할 수 있습니다.
빛 속도 c의 불변량이 회전하면 4차원 시공간이 형성됩니다.

4차원 시공간에서 시간과 공간은 긴밀한 관계를 갖죠. 각자의 물리량을 상호 교환합니다.
이걸 시간 물리량과 공간 물리량이 1:1 대응 관계를 이루며 곧바로 바뀌는 상황으로 이해하면 안 됩니다. 상대성이론에서 작동하는 물리량의 교환은 에너지의 변환을 의미합니다.
공간 에너지와 시간 에너지가 주거니 받거니 하는 거죠.

3. 양자역학의 시간과 공간

상대성이론에서는 회전 반지름이 빛 속도죠. 양자역학에서는 환산 플랑크 상수(ħ)가 회전변환의 반지름입니다. 양자의 시간과 공간이 ħ를 기준으로 변화를 겪습니다.
상대성이론의 4차원 시공간은? 시간과 공간이 구부러지는 정도에 그칩니다.

양자역학의 4차원 시공간은?
매 순간 진동하는 4차원 시공간을 형성합니다. 요동하는 4차원 시공간은 시간과 공간이 잠시도 쉬지 않고 움직입니다. 생겼다가 사라지고 다시 솟구쳤다가 이내 잦아듭니다.
생성하고 소멸하는 시공 장이 됩니다. 미시계의 시공간에서 파동처럼 진동하는 입자는 양자가 됩니다. 양자 시공간을 만드는 거죠.

상대성이론은 ‘시간과 공간이 다르지 않다.’로 정리할 수 있습니다.
양자역학은 ‘시간과 공간이 조화진동 한다.’고 요약할 수 있습니다.

4. 시공간의 대칭

시공이 같다는 말은 어떤 메커니즘을 거느리고 있을까요?
시공이 조화진동 한다는 얘기를 떠받치는 수식은 뭘까요?
시간과 공간의 관계를 알 수 있는 물리적 탐색, 수학적 접근에 딱 들어맞는 도구가 있습니다. 오일러 수와 허수입니다.

오일러 수, 허수는 물리수학에 다가가는 수리언어입니다.
오일러 수와 허수가 있으면 거시계의 시공이 휘는 현상, 미시계의 양자가 겪는 생성소멸을 포착할 수 있습니다.

현대물리든 고전물리든 물리학의 핵심은 시간과 공간을 파악하는 데 있습니다. 고전물리학은 시간과 공간의 관계에서 파생되는 물리량에 주목해야겠죠. 현대물리학은 시공의 변화가 펼쳐내는 물리현상을 이해하며 느껴야 합니다.

뉴턴역학의 기본 수식은 ‘힘 방정식’이죠. 힘에 공간을 적분한 물리량이 에너지입니다. 라그랑주 역학은 에너지라는 물리량에 기초해 시간을 적분, 작용의 물리량을 설정했죠. 시공의 대칭 개념이 담겨있습니다.

현대물리학이라고 해서 고전역학과 동떨어져 있지는 않습니다. 이를테면 양자역학이 기술하는 4차원 시공간이 라그랑주 역학과 배치되지 않는다는 거죠. 양자역학은 라그랑주 역학이 의도한 시간과 공간의 대칭 영역을 좀 더 확장한 것으로 이해할 수 있으니까요.

고전물리학은 절대 시간과 절대 공간의 대칭으로 물리현상을 설명했고 현대물리학은 상대적 시간과 상대적 공간으로 완벽하고도 완전한 대칭성을 추구한다고 봐야겠죠.

작가정보

저자(글) 임성민

서울대학교 공과대학에서 원자핵공학을 공부했다.
내가 사는 세상을 제대로 알고 싶어 물리와 수학을 오래 탐구했고, 인간을 이해하기 위해 운명을 연구한다.
〈피타고라스로 푸는 상대성이론〉, 〈플랑크 상수로 이해하는 양자역학〉, 〈파동의 법칙〉, 〈운명의 발견〉 등을 썼고 양자물리 원고를 쓰고 있다.

저자(글) 정문교

행정학과 문학을 공부했다.
고대 그리스의 자연철학을 탐구하다 자연과학에 매료돼 수학, 과학 공부를 하고 있다.
익힌 내용을 나누고 싶어 몇 권의 책을 썼다.
함께 쓴 책으로 〈피타고라스로 푸는 상대성이론〉, 〈플랑크 상수로 이해하는 양자역학〉, 〈파동의 법칙〉이 있고 혼자 쓴 책으로 〈쉽게 풀어쓴 운명〉이 있다.