파이썬과 함께하는 선형대수 코드

손현석 지음

토마토마트 2021년 03월 22일 출간

작품소개

책소개

들어가며

파이썬은 데이터 분석과 예측에 가장 인기있는 언어 중의 하나입니다. 더구나 최근에 각광받는 딥러닝의 유용한 툴인 tensorflow와 pytorch 등은 파이썬에 의해 완벽하게 구현됩니다. 이들 언어에서 데이터의 기본형태는 배열 형태로서 파이썬의 중요한 패키지인 numpy에 의해 생성됩니다. 특히 배열형은 데이터 셋의 각 값에 방향과 크기를 부여하는 벡터와 행렬의 구조를 가지기 때문에 데이터 과학의 기본이 됩니다. 예를들어 행렬 구조는 방대한 데이터 셋의 기본 특성을 잃지 않고 단순한 형태로 변환을 가능하게 합니다. 이러한 변환은 데이터의 효율적인 처리와 암묵적으로 지니고 있는 특성을 발견하는데 유용합니다.

벡터와 행렬의 활용을 위한 기본 이론을 제공하는 분야인 선형대수는 데이터의 분석을 위한 컴퓨팅 과정에서 계산의 정확성과 신속성을 증가시키고 데이터 셋의 특성을 발견하기 위한 많은 알고리즘을 제공합니다. 이러한 알고리즘들은 확률, 통계 그리고 러닝머신의 컴퓨팅의 이해에 매우 유용합니다.

본 책에서는 파이썬의 패키지인 numpy, sympy 등을 사용하여 선형 대수의 많은 기본 사항들을 소개하고 있습니다. 1장과 2장에서는 벡터와 행렬의 생성과 특성을 소개합니다. 3장에서는 연립 방정식 체계에서의 해를 계산하는 과정을 통한 선형 시스템을 설명합니다. 4장에서 소개하는 개념인 공간은 선형 시스템을 구성하는 각 벡터들의 집합적 특성과 관계들을 추론하는 데 사용합니다. 5장에서는 선형 시스템을 기하적으로 나타내기 위해 좌표 시스템을 소개합니다. 6장에서는 벡터, 행렬등의 기본 특성을 유지하면서 변환 시키는 과정을 소개합니다. 마지막으로 7장에서는 원래의 형태를 단순한 형태로 분해할 수 있는 여러 방법들을 설명합니다. 각 장의 마지막에 연습문제를 수록하였으며 블로그(https://shsbooksolution.blogspot.com/p/blog-page.html)에서 풀이과정을 참고할 수 있습니다. 본책에서 사용된 대부분의 파이썬 함수들의 목록과 간단한 적용 메뉴얼은 8장 부록에서 소개하였습니다.

사용되는 파이썬의 다양한 함수를 사용합니다. 이들 함수를 사용하기 위해서는 다음 파이썬 패기지들을 임포트 하여야 합니다.

import numpy as np
from sympy import *

sympy 패키지는 latex 수식 형식이 적용된 결과를 반환합니다. 이 형식은 시각적으로 유리하므로 본 책에서는 numpy 패키지 함수에 의한 결과를 최종적으로 sympy의 결과(latex 수식 표현)로 전환하여 반환하였습니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

x=np.array([[1], [2]])
x # numpy 형식
array([[1], [2]])
Matrix(x) #sympy 형식
[[1]
[2]]

sympy에서 생성하는 모든 객체는 numpy의 배열 객체를 기본으로 하여 작성됩니다. 그러므로 sympy 함수인 Array() 또는 Matrix()에 의해 numpy 배열 객체의 전환은 자연스럽게 이루어 집니다. 또한 위와 같이 코드의 결과는 파란색으로 나타내었습니다.



손 현 석

목차

차 례

저자소개 i
들어가며 ii
차례 v

제 1장 벡터 1
1.1 벡터 1
1.1.1 스칼라와 벡터 1
1.1.2 차원과 축 5
1.2 노름과 단위벡터(Norm and Unit Vector) 10
1.3벡터들의 연산 13
1.3.1 덧셈과 뺄셈, 그리고 스칼라 배 13
1.3.2 내적(Inner product) 14
1.3.3 직교벡터(Orthogonal vectors) 22
1.3.4 코쉬-슈바르츠 부등식 (Cauchy-Schwarz inequality) 25
1.3.5 삼각부등식(Triangle inequality) 26
1.3.6 정사영(Projections) 27
1.3.7 외적(Outer product) 29
1.4 연습문제

제 2 장
2.1 행렬 35
2.1.1 행렬의 생성 35
2.1.2 객체 슬라이싱(Object slicing) 36
2.1.3 사칙 연산(Arithmetic operations) 38
2.1.4 행렬 곱(Matrix product) 39
2.2특수한 행렬 42
2.2.1 전치 행렬(Transposed matrix) 42
2.2.2 정방 행렬 (Square matrix) 44
2.2.3 항등 행렬 (Identity Matrix) 44
2.2.4 트레이스(Trace) 45
2.2.5 대각행렬(Diagonal matix) 46
2.2.6 삼각 행렬(Triangular matrix) 47
2.2.7 대칭행렬(Symmetric matrix) 49
2.3 역행렬과 행렬식 53
2.3.1 역행렬(Inverse matrix) 53
2.3.2 기약행 사다리꼴 형태 (Reduced row echelon form, rref) 56
2.3.3 행렬식(Determinant) 62
2.4 LU decomposition 68
2.5 연습문제 73

제 3 장 선형시스템(Linear System) 76
3.1선형결합(Linear Combination) 76
3.1.1동차 선형 결합 81
3.2선형 독립과 선형 종속 84
3.3연습문제 90

제 4 장
4.1부분공간 96
4.1.1부분공간의 차원 100
4.2기저(Basis) 104
4.2.1표준기저(Standard basis) 104
4.3영공간과 열공간 114
4.3.1영공간(Null Space) 114
4.3.2열공간 (Column space) 119
4.4연습문제 128

제 5 장
5.1 벡터의 좌표시스템 130
5.2 차원(Dimension)과 급수(Rank) 139
5.3 고유벡터와 고유값 145
5.4 마코브 체인(Markov Chains) 159
5.5 연습문제 169

제 6 장

6.1 핵과 치역(Kernel and Range) 171
6.2 선형변환(Linear transformation) 181
6.3 특별한 선형변환 192
6.3.1동일차원으로 선형변환의 경우 192
6.3.2 일정각도의 이동 194
6.4 직교집합과 투영 196
6.4.1 직교집합(Orthogonal set) 196
6.4.2 직교적 투영(Orthogonal Projection) 200
6.4.3 정규직교(Orthonormal) 205
6.4.4 그람 슈미트 과정(Gram-Schmidt process) 210
6.5 유사변환(Similarity transformation) 218
6.5.1 대각화(Diagonalization) 221
6.6 연습문제 232

제 7 장
7.1 QR 분해234
7.2 고유분해(Eigen-Decomposition) 242
7.3 스펙트럴 분해(Spectral decomposition) 247
7.3.1 대칭행렬의 대각화 247
7.3.2 스펙트럴분해 254
7.4 이차형식과 특이값 분해 259
7.4.1 이차형식 (Quadratic forms) 259
7.4.2 특이값분해 277
7.5 연습문제 292

제 8 장 부록 294
8.1 numpy 함수와 메서드 294
8.2 sympy 함수와 메서드 302
8.3 이진수와 십진수 문제 304
찾아보기 305

작가정보

저자(글) 손현석

저자 소개

서울대학교에서 공부하였습니다.
Nnode 이사로 재직하고 있으며 Pyhton을 사용한 데이터 분석에 관심을 가지고 있습니다.
"파이썬으로의 여행", "파이썬과 함께하는 행렬이야기", "파이썬과 함께하는 미적분 이야기 I", "파이썬과함께하는통계입문" 등의 python과 수학, 통계와 연관된 다양한 책들을 출간하였습니다.
[e-mail]
Datastory1.blogspot.com