푸리에로 푸는 열전달

편미분방정식과 푸리에 해석으로 열 방정식 경계조건 분리변수법 수치해석을 설계와 연결하다

사유의서재 지음

스마트북 2025년 11월 03일 출간

작품소개

책소개

보이지 않는 열의 길을 숫자와 문장으로 바꾸는 실전형 해설서다. 직관에서 출발해 열전도 법칙과 보존법칙으로 열 방정식을 세우고, 푸리에 급수와 분리변수법으로 복잡한 초기 상태를 단순한 모드의 합으로 풀어 설계에 바로 쓰게 만든다. 고정 온도와 단열, 대류 같은 경계조건이 해의 얼굴을 어떻게 바꾸는지 사례로 설명하고, 1차원 막대에서 2차원 평판과 라플라스 정적 해, 3차원 원통과 구대칭으로 확장하는 사고 과정을 단계별로 안내한다. 손으로 풀기 어려운 장면을 위해 유한차분과 유한요소 같은 수치해석의 핵심 원리를 직관 중심으로 정리하고, 역문제와 정규화, 센서 배치 최적화까지 담아 데이터 기반 추정의 함정과 해법을 함께 제시한다. 마지막 장에서는 이미지와 신호, 배터리와 반도체, 도시와 데이터센터로 이어지는 현대 응용 사례를 통해 열의 언어가 다양한 분야의 공통어임을 보여 준다. 공식 암기가 아닌 설계의 문장과 체크포인트를 남기는 책이다.

목차

프롤로그: 열의 흐름을 방정식으로 말하다

1장 열의 직관과 역사, 푸리에의 문제의식에서 시작하다

2장 열전도 법칙, 미시 없이도 성립하는 연속체 가정

3장 열 방정식의 탄생, 편미분으로 시간의 변화를 붙잡다

4장 푸리에 급수, 복잡한 모양을 순수한 파동의 합으로

5장 경계조건이 해를 결정한다: 고정·단열·대류가 만드는 다른 세계

6장 분리변수법, 공간과 시간을 갈라 푼다

7장 1차원 막대 문제, 가장 많이 쓰는 표준 해법

8장 2차원 평판과 라플라스 방정식의 정적 해

9장 3차원·원통·구대칭, 좌표계를 바꾸면 문제가 단순해진다

10장 수치해석 입문, 해가 없을 때 격자로 길을 만든다

11장 역문제와 정규화, 데이터로 거꾸로 물성을 찾다

12장 현대 응용으로 확장되는 푸리에 해석

에필로그: 계산으로 읽는 열, 설계로 이어지는 직관

부록 A. 초보자 수학 노트: 푸리에 급수·변환, 라플라스 변환, 좌표별 고유함수 공식 정리

부록 B. 실험 레시피와 안전: 열전도도 추정, 표면 온도 측정, 데이터 피팅 안내

부록 C. 용어·기호·단위 사전: 상징에 압축된 의미를 한눈에

책 속으로

열은 물처럼 높은 데서 낮은 데로 스며들지만 눈에 보이지 않는다. 우리는 그 보이지 않는 길을 온도라는 눈금과 기울기라는 화살표로 기록한다. 열전도율은 같은 기울기에서 얼마나 잘 흐르는지를 말해 주고, 비열과 밀도는 온도를 바꾸는 데 필요한 에너지의 양을 정한다. 보존법칙은 작은 상자에 들어온 열과 나간 열, 내부에서 생긴 열의 장부를 맞추고 그 차이를 시간의 변화로 바꾼다. 복잡한 초기 모양은 정현파 같은 순수한 물결의 합으로 나눌 수 있다. 촘촘한 물결은 빨리 사라지고 완만한 물결은 오래 남는다. 경계에서의 약속은 해의 성격을 바꾼다. 온도를 고정하면 색을 직접 정하는 것이고, 열류를 정하면 붓질의 양을 지정하는 일이며, 대류는 표면과 공기의 차이에 비례해 부드럽게 주고받는 규칙이다. 손으로 닿지 않는 문제는 격자로 길을 낸다. 이웃과 평균, 작은 걸음, 안정한 업데이트라는 세 문장이 폭주를 막는다. 겉에서 잰 온도로 속을 거꾸로 추정할 때는 정규화라는 보조바퀴가 필요하다. 중요한 것은 공식이 아니라 순서다. 어디가 뜨겁고 어디로 빠져나가며 어느 모드가 오래 남는지 묻는 습관이 해석을 간결하게 만든다.

출판사 서평

한밤의 책상에서 뜨거워지는 노트북 모서리처럼 열은 매일 우리의 선택을 바꾼다. 문제는 수식이 아니라 절차다. 이 책은 직관을 잃지 않은 채 열전달을 예측 가능한 규칙으로 바꾼다. 먼저 열전도 법칙과 보존법칙으로 열 방정식의 뼈대를 세우고, 푸리에 급수와 분리변수법으로 초기 상태를 순수 모드의 합으로 분해해 시간의 잔향을 읽게 한다. 고정 온도와 단열, 대류 경계는 해의 성격을 바꾸는 가장 강력한 손잡이로 다루며, 1차원 막대에서 2차원 평판과 라플라스 정적 해, 3차원 원통과 구대칭으로 자연스럽게 이어지는 확장성을 체득하게 한다. 손으로 닿지 않는 장면을 위해 유한차분과 유한요소를 비교 설명하고, 안정성과 시간스텝, 경계 구현의 요령을 체크포인트로 정리한다. 역문제와 정규화 장에서는 잡음이 큰 현실 데이터에서 흔들림을 줄이는 안전장치를 소개하고, 센서 배치 최적화로 적은 데이터에서 최대 정보를 얻는 전략을 제안한다. 마지막으로 이미지와 신호, 배터리와 반도체, 도시 열섬과 데이터센터 냉각 등 현대 응용을 통해 열의 언어가 설계의 언어로 바로 번역되는 경험을 제공한다. 독자는 장면을 먼저 그리고 경계를 정확히 붙이는 습관, 오래 남는 모드를 줄이는 선택, 수치 폭주를 피하는 점검 루틴을 손에 쥐게 된다. 지금 이 책으로 보이지 않는 열의 길을 설계의 문장으로 바꾸라.

인물정보

저자(글) 사유의서재

사유의서재는 철학 과학 역사 등 인문사회 전반의 고전과 현대 담론을 교차 분석해 실행 가능한 인문 기술서를 집필하는 프로젝트 그룹이다. 철학을 감상의 언어가 아닌 운영과 성장의 언어로 번역하며 질문 적용 점검의 루틴을 통해 독자가 스스로 사고 체계를 세우도록 돕는다.