청소년을 위한 교양 수학: 미분 방정식

루미너리북스 교육출판 에디팅 팀 지음

루미너리북스 2025년 09월 09일 출간

작품소개

책소개

미분방정식은 변화하는 세상을 수학으로 설명하는 언어다. 뉴턴이 사과가 떨어지는 현상을 설명하기 위해 처음 사용한 이래로, 미분방정식은 자연 현상의 규칙을 찾아내는 가장 강력한 도구가 되었다. 이 책은 라이프니츠와 뉴턴의 미적분학 발명 경쟁부터 시작해서, 미분방정식이 무엇인지 일상생활 속 예시를 통해 설명한다. 변화율과 함수의 관계를 이해하면, 왜 미분방정식이 물리학, 생물학, 경제학 등 모든 분야에서 필수적인 도구인지 알 수 있다. 복잡해 보이는 수학 기호들 뒤에 숨겨진 직관적 의미를 파악하고, 미분방정식의 해가 어떻게 그래프로 표현되는지 시각적으로 이해할 수 있다.

변수분리법부터 라플라스 변환까지, 미분방정식을 푸는 다양한 방법들을 단계별로 소개한다. 요리 레시피처럼 체계적인 변수분리법, 열쇠와 자물쇠에 비유한 적분인자의 개념, 퍼즐 맞추기 같은 완전미분방정식 해법을 통해 수학적 사고의 논리를 체험한다. 베르누이 가문의 수학자들이 연구한 곡선 문제들과 18세기 리카티 방정식을 둘러싼 수학자들의 경쟁 이야기도 흥미롭다. 고차 미분방정식에서는 스프링과 추의 운동을 통해 물리적 의미를 파악하고, 특성방정식을 암호 해독에 비유해서 해법을 익힌다. 오일러 방정식과 멱급수, 연립 미분방정식 시스템까지 다루며 수학의 체계적 아름다움을 보여준다.

미분방정식은 현실 세계의 문제를 해결하는 실용적 도구다. 인구 증가 모델에서는 맬서스의 인구론과 지수함수 성장의 관계를 살펴보고, 전염병 확산의 SIR 모델로 코로나19 예측 방법을 이해한다. 키르히호프의 전기회로 법칙을 통해 RC 회로를 분석하고, 방사성 물질의 반감기 계산과 은행 이자의 연속 복리 계산도 배운다. 포식자-피식자 모델인 로트카-볼테라 방정식으로 생태계의 균형을 설명하고, 심장 박동의 수학적 모델링으로 의학적 응용을 보여준다. 경제학에서는 솔로우 성장 이론과 시장의 공급수요 동적 균형을, 공학에서는 자동 제어 시스템과 로봇 제어의 PID 제어기를 다룬다. 기상 예보와 자율 주행 자동차의 경로 계획까지 현대 기술의 핵심이 미분방정식임을 확인할 수 있다.

편미분방정식으로 확장하면 더욱 풍부한 현상을 설명할 수 있다. 열전도 방정식과 퓨리에의 열전도 법칙, 파동방정식과 현의 진동, 라플라스 방정식과 전기장의 포텐셜을 다루며 물리학의 기본 법칙들을 수학적으로 이해한다. 카오스 이론에서는 로렌츠 방정식과 나비 효과를 통해 복잡계의 신비를 탐구하고, 확률 미분방정식에서는 브라운 운동과 주식 가격 변동 모델을 살펴본다. 마지막 장에서는 기계 학습과 신경망에서 미분방정식의 역할, 기후 변화 예측 모델, 바이오 인포매틱스의 유전자 네트워크 분석까지 다루며 현대 과학기술의 최전선을 조망한다. 수학이 단순한 계산 도구가 아니라 미래를 예측하고 복잡한 문제를 해결하는 사고 체계임을 보여주는 책이다.

목차

1. 미분방정식의 탄생과 발견
2. 해와 해곡선의 기하학적 의미
3. 변수분리법의 마법
4. 1차 선형 미분방정식
5. 완전미분방정식과 보존법칙
6. 베르누이 방정식의 비선형 세계
7. 리카티 방정식과 수학자들의 도전
8. 고차 미분방정식의 등장
9. 선형 동차 미분방정식
10. 상수계수 비동차 방정식
11. 오일러 방정식과 멱급수
12. 라플라스 변환의 마법
13. 연립 미분방정식 시스템
14. 상평면 분석과 궤도
15. 수치해법과 컴퓨터 시뮬레이션
16. 경계값 문제와 고유값
17. 편미분방정식 입문
18. 분리변수법과 푸리에 급수
19. 열방정식과 확산 현상
20. 파동방정식과 진동 현상
21. 라플라스 방정식과 조화함수
22. 생물학적 모델링
23. 경제학적 응용과 동역학
24. 공학에서의 제어 이론
25. 카오스 이론과 비선형 동역학
26. 확률 미분방정식
27. 현대 응용과 미래 전망

작가정보

저자(글) 루미너리북스 교육출판 에디팅 팀

루미너리북스 교육 출판 에디팅 팀은 전문 교육 콘텐츠 기획자와 편집자들로 구성되어, 학생들의 눈높이에 맞춘 양질의 교육 도서를 제작하는 데 전념하고 있다. 각 분야별 전문가들과의 긴밀한 협업을 통해 정확하고 이해하기 쉬운 교육 콘텐츠를 개발하며, 특히 고등학생을 위한 대학 과목 선행학습 시리즈와 같은 혁신적인 교육 도서를 기획하고 있다.