청소년을 위한 교양 수학: 연속성

루미너리북스 교육출판 에디팅 팀 지음

루미너리북스 2025년 09월 09일 출간

작품소개

책소개

수학에서 연속성은 함수가 끊어지지 않고 매끄럽게 이어진다는 직관적 개념으로 시작됩니다. 온도계의 눈금이 점진적으로 변하고, 시간이 흘러가는 방식처럼 우리 일상생활 곳곳에서 연속성을 경험할 수 있습니다. 이 책은 중학생도 이해할 수 있는 구체적인 사례들을 통해 연속성의 핵심 아이디어를 전달합니다. 아킬레스와 거북이의 고전적 역설부터 현대적 극한 개념까지, 복잡한 수학적 개념들을 친근한 이야기로 풀어내어 독자들이 자연스럽게 연속성의 세계에 빠져들 수 있도록 안내합니다. 함수의 그래프를 통한 시각적 설명과 실생활 속 연속성 현상들을 연결하여, 추상적인 수학 개념이 얼마나 구체적이고 실용적인지 보여줍니다.

연속성의 직관적 이해를 바탕으로 이 책은 코시와 바이어슈트라스가 확립한 엄밀한 수학적 정의로 나아갑니다. 입실론-델타 정의라는 정교한 수학적 언어를 통해 연속성을 정확히 표현하는 방법을 학습하고, 연속함수들의 합성과 연산에서 나타나는 놀라운 성질들을 탐구합니다. 중간값 정리와 최대최소값 정리 같은 연속성의 강력한 결과들은 방정식의 해 존재성을 보장하고 최적화 문제를 해결하는 핵심 도구가 됩니다. 불연속점의 세밀한 분류와 균등연속성의 개념은 연속성 이론의 깊이를 더해주며, 볼차노와 바이어슈트라스의 역사적 업적들을 통해 수학사의 발전 과정도 함께 이해할 수 있습니다.

연속성 개념은 일변수 함수를 넘어 다변수 함수, 함수열, 위상공간으로 확장되며 현대 수학의 여러 분야와 깊이 연결됩니다. 측도론적 관점에서의 연속성은 확률론과 통계학의 기초가 되고, 함수해석학에서의 연속성은 무한차원 공간에서의 함수 거동을 이해하는 열쇠가 됩니다. 컴팩트집합과 연결성 같은 위상수학적 개념들은 연속성의 기하학적 의미를 풍부하게 만들어주며, 바이어슈트라스 근사 정리는 연속함수들을 다항식으로 근사하는 실용적 방법을 제공합니다. 이러한 이론적 확장들은 수학의 각 분야가 얼마나 유기적으로 연결되어 있는지를 보여주는 살아있는 증거입니다.

현대에 이르러 연속성은 컴퓨터 과학, 신호처리, 영상처리, 기계학습 등 첨단 기술 분야에서 핵심적인 역할을 담당하고 있습니다. 디지털 신호의 연속성 복원, 영상의 매끄러운 보간, 최적화 알고리즘의 수렴성 보장 등 우리가 사용하는 기술들의 바탕에는 연속성 이론이 자리잡고 있습니다. 경제학에서의 연속성 가정은 시장 균형 이론의 토대가 되고, 물리학에서의 연속성 원리는 자연 현상을 설명하는 기본 법칙이 됩니다. 이 책은 이러한 현대적 응용들을 통해 연속성이 단순한 수학적 개념이 아니라 우리 세상을 이해하고 발전시키는 강력한 도구임을 보여줍니다. 23개 챕터를 통해 연속성의 모든 면면을 탐구하며, 독자들은 수학의 아름다움과 실용성을 동시에 경험하게 될 것입니다.

목차

1. 함수와 연속성의 첫걸음
2. 극한의 신비로운 세계
3. 연속성의 수학적 정의
4. 연속함수의 놀라운 성질
5. 불연속점의 분류학
6. 균등연속성의 깊은 이해
7. 중간값 정리의 마법
8. 최대최소값 정리의 힘
9. 위상공간의 연속성
10. 함수열과 연속성
11. 연속성과 미분가능성
12. 연속성과 적분가능성
13. 절대연속성의 개념
14. 연속함수의 근사
15. 컴팩트집합에서의 연속성
16. 연결성과 연속성
17. 다변수함수의 연속성
18. 연속성의 측도론적 관점
19. 연속함수의 확장
20. 연속성의 기하학적 해석
21. 연속성과 대수구조
22. 함수해석학의 연속성
23. 연속성의 현대적 응용

인물정보

저자(글) 루미너리북스 교육출판 에디팅 팀

루미너리북스 교육 출판 에디팅 팀은 전문 교육 콘텐츠 기획자와 편집자들로 구성되어, 학생들의 눈높이에 맞춘 양질의 교육 도서를 제작하는 데 전념하고 있다. 각 분야별 전문가들과의 긴밀한 협업을 통해 정확하고 이해하기 쉬운 교육 콘텐츠를 개발하며, 특히 고등학생을 위한 대학 과목 선행학습 시리즈와 같은 혁신적인 교육 도서를 기획하고 있다.