힐베르트 공간의 기초

씨익북스 편집부 2팀 지음

아쿠아북스 2025년 05월 08일 출간

작품소개

책소개

"《힐베르트 공간의 기초》는 현대 수학과 물리학의 주요 개념인 힐베르트 공간에 대한 포괄적인 이해를 제공하는 교재입니다. 이 책은 힐베르트 공간의 기초부터 시작하여, 함수 해석학, 선형 대수, 내적 공간, 완비성, 양자역학, 응용 수학 등 다양한 주제를 다루고 있습니다.

힐베르트 공간은 무한 차원의 벡터 공간으로, 양자역학과 같은 현대 물리학의 많은 이론에서 중심적인 역할을 합니다. 이 책은 이러한 힐베르트 공간의 정의와 그 속성을 명확히 설명하며, 독자가 이론을 이해하고 응용할 수 있도록 체계적으로 구성되어 있습니다.

특히, 함수 해석학의 기초 개념을 통해 함수의 성질과 연속성, 수렴성 등을 논의하며, 선형 대수의 원리를 바탕으로 벡터 공간의 구조를 심도 있게 탐구합니다. 내적 공간의 개념을 통해 거리와 각도를 정의하고, 완비성의 중요성을 강조하여 수학적 분석의 기초를 다지는 데 중점을 두고 있습니다.

또한, 양자역학의 기초적인 원리와 힐베르트 공간의 관계를 설명하며, 수학적 모델링 및 응용 수학 분야에서도 힐베르트 공간이 어떻게 활용되는지를 보여줍니다. 이 책은 수학과 물리학의 경계를 넘나드는 다양한 예제를 통해 독자들이 실제 문제에 적용할 수 있는 능력을 길러줍니다.

수학적 배경이 있는 학생들뿐만 아니라, 물리학 및 공학 분야의 연구자들에게도 유용한 참고서가 될 것입니다. 이 책을 통해 독자들은 힐베르트 공간의 깊이 있는 이해를 얻고, 이를 통해 현대 과학의 다양한 문제를 해결하는 데 필요한 기초 지식을 확립할 수 있을 것입니다.

*생성형 AI를 활용하여 제작되었습니다."

목차

"힐베르트 공간의 정의와 기본 개념
내적 공간의 구조와 성질
완비성의 중요성
함수 해석학의 기초
선형 변환과 힐베르트 공간
양자역학에서의 힐베르트 공간의 역할
응용 수학에서의 힐베르트 공간
무한 차원 공간의 이해
프로젝션 이론과 내적 공간
정규 연산자와 스펙트럼 이론
힐베르트 공간의 기저와 차원
제약 조건과 최적화 문제
수렴과 근접성의 개념
베르너와 힐베르트의 정리
복소수 힐베르트 공간의 특성
함수 공간과 연속 함수
형식적 정의와 예시
정규성을 갖는 함수의 성질
이산 및 연속 신호의 표현
구간 미분과 푸리에 변환
선형 대수와의 관계
내적 공간에서의 직교성
힐베르트 공간의 예시
연산자 대수와 힐베르트 공간
파동 함수의 수학적 모델링
확률론과 힐베르트 공간
기하학적 해석과 시각화
한계와 극한의 개념
양자 상태의 기술과 해석
푸리에 급수와 변환의 응용
자기 연산자의 성질
히든 마르코프 모델과 힐베르트 공간
비선형 시스템의 해석
다양한 함수 클래스의 비교
힐베르트 공간과 차원 이론
상대론적 양자역학의 수학적 기초
대수적 구조와 힐베르트 공간
연속성과 미분 가능성
상관 함수와 자기 상관
선형 공간의 정리
리만-스틸체스 정리에 대한 고찰
내적 공간의 응용 사례
함수공간의 토폴로지
비교적 완비성의 개념
가산적 집합과 연속성
함수의 해석적 확장
수학적 물리학에서의 응용
정보 이론과 힐베르트 공간
모델링과 시뮬레이션 기법
신경망과 함수 해석학
미분 방정식의 해법
비선형 시스템의 안정성 분석
신호 처리에서의 응용
힐베르트 공간과 최적 제어
함수의 복소 해석과 응용
다양한 수학적 도구의 통합
확장성과 수렴의 이론
힐베르트 공간의 역사적 배경
응용 수학에서의 혁신적인 접근
미래의 연구 방향과 가능성"

작가정보

저자(글) 씨익북스 편집부 2팀

"세상을 아름다운 지식으로 물들이자" 위 모토를 바탕으로 다양한 지식 서적을 보급하고 있다.