개념 있는 수학자: 대수·미적분·확률과 통계 편

이광연 지음

어바웃어북 2024년 12월 26일 출간 국내도서 : 2024년 12월 26일 출간

작품소개

책소개

수학이 입시를 쥐락펴락하는 핵심 과목으로 자리 잡을수록 학생과 학부모들의 수학에 대한 두려움은 더 커지고 있다. 어떻게 하면 수학을 잘할 수 있을까? 매년 수학능력시험에서 최고점을 받은 학생들이 인터뷰에서 빠지지 않고 하는 대답은 “교과서 위주로 공부했어요”이다. 우리가 식상하다고 간과한 이 말의 참뜻은 “개념을 정확히 파악하고 공부했어요”이다. 다년간 교과서 집필위원으로 참여하며 수학 공부법을 고민하고 연구해 온 저자의 생각 역시 같다. “개념이 수학의 90%다”. 수학 본연의 뜻을 정확히 파악하고 개념과 개념을 연결하고 응용할 수 있는 ‘개념력’이 있으면, 어떤 유형과 난이도의 문제든 해결할 수 있다.
그러나 많은 학생이 수학 문제의 유형만 따라가며 문제를 해결하는 데 급급하다. 그 결과 개념은 그대로 두고 문제의 포장만 약간 바꿔도 처음 보는 문제로 인식하고 속절없이 무너진다. 개념을 확실하게 잡고 있으면, 절대로 흔들리지 않는다. 수학에서는 유형보다 개념이 중요하다.
2025년 고등학교 1학년 학생부터 적용되는 11차 교육과정 개정으로 가장 큰 변화를 맞게 될 과목이 수학이다. 2028년도 수학능력시험부터 수학과목은 선택과목이 폐지되고 심화 수학이 제외된다. 기존에 선택과목이었던 ‘확률과 통계’, ‘미적분2’, ‘기하’에서 심화 수학에 해당하는 ‘미적분2’와 ‘기하’가 빠지고, ‘대수’, ‘미적분1’, ‘확률과 통계’ 세 과목에서 문제가 출제된다. 이에 따라 수학능력시험 준비 전략에도 변화가 불가피해졌다. 새로운 수학능력시험은 심화 수학이 제외되는 만큼, 기본 개념을 정확하게 이해하고 활용하는 능력을 키우는 데 중점을 두고 대비해야 한다. 이 책은 2028년 수학능력시험부터 공통과목이 되는 ‘대수’, ‘미적분’, ‘확률과 통계’를 49개 개념으로 완벽하게 정리했다.
수학 개념은 용어의 가장 말단인 뿌리부터 파고들었다. 공식은 어떻게, 왜, 어디서 나와서 어디에, 어떻게 활용되는지를 풀어낸다. 또한 교과과정을 개정하며 생략되었으나 상위 개념 이해에 꼭 필요한 설명을 복원함으로써, 교과서 속 개념의 간극을 메운다. 수학은 하나를 알아야 그다음을 알 수 있는 위계적인 학문이라 한 부분이라도 개념의 결손이 생기면 앞으로 나아갈 수가 없다. 이 책은 고등학교 수학을 범위로 하고 있지만, ‘근의 공식’과 ‘판별식’, ‘나눗셈’, ‘삼각비’처럼 중학교와 초등학교 과정까지 거슬러 내려가 개념의 가장 밑바닥부터 차근차근 풀어낸다. 또한 개념 설명 뒷부분에는 출제 경향과 학습 전략을 콕 집어 안내함으로써, 수학 공부의 방향을 제시한다.

목차

머리말 _ 수학이 당신을 힘들게 할 때는 개념으로 돌아가라!

[ 지수함수와 로그함수 ]
52. 거듭제곱근
: 제곱하여 a가 되는 수
53. 로그
: 힘든 계산과정을 획기적으로 변화시킨 기호
54. 지수함수
: 변수가 거듭제곱의 지수에 포함되어 있는 함수
55. 로그함수
: 로그함수는 지수함수의 역함수

[ 삼각함수 ]
56. 일반각
: 회전량을 함께 생각하여 구별되도록 정의한 각
57. 호도법
: 각의 크기를 길이의 개념으로 나타내는 것
58. 삼각비
: 직각삼각형에서 변의 길이 비
59. 삼각함수
: 중학교에서 배운 삼각비에서 각을 일반각으로 바꾼 것
60. 삼각함수의 그래프
: 런던 아이의 곤돌라 위치를 그래프로 그린다면
61. 사인법칙
: 삼각형 세 변의 길이와 세 내각의 크기 사이의 관계
62. 코사인법칙
: 해저터널을 뚫는데 필요한 삼각함수

[ 수열 ]
63. 등차수열
: 앞의 항에 일정한 수(공차)를 더해 만드는 수열
64. 등비수열
: 등비수열로 뽑는 수타면 맛은 어떨까?
65. 합의 기호
: Σ, ‘Sum’의 첫 글자
66. 여러 가지 수열의 합
: 수식 빼고 그림으로 증명하기
67. 수학적 귀납법
: 수학적 논증을 이해하는 도구.

[ 함수의 극한과 연속 ]
68. 함수의 극한
: 함숫값이 일정한 값에 한없이 가까워질 때
69. 무한대
: 무한히 커지는 상태
70. 우극한과 좌극한
: x값이 a에 한없이 가까워지는 것
71. 함수의 연속
: 변화를 예측할 수 있는 함수
72. 연속함수의 성질
: 미분에서 유용한 최대·최소 정리와 사잇값 정리

[ 미분 ]
73. 평균변화율과 미분계수
: 작게 잘라서 그 변화를 살펴본다
74. 도함수
: 함수를 미분하여 얻은 새로운 함수
75. 접선의 방정식
: 누리호를 궤도에 안착시키는 데 필요한 방정식
76. 평균값 정리
: 자동차 구간단속에 필요한 미분
77. 함수의 증가와 감소
: 그래프를 그리지 않고 해수면 높낮이 알아내기
78. 극대와 극소
: 어떤 구간에서 함숫값이 가장 클 때와 가장 작을 때
79. 함수의 그래프 개형 그리기
: 함수의 그래프를 대강 그리는 방법

[ 적분 ]
80. 부정적분
: 미분의 역연산 과정
81. 구분구적법과 정적분
: 해안선이 들쑥날쑥한 지형의 넓이는 어떻게 구할까?
82. 부정적분과 정적분
: 원유 유출 사고 시 유출 범위 구하기

[ 경우의 수 2 ]
83. 여러 가지 순열
: A지점에서 B지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수
84. 중복조합
: 분식집 키오스크를 작동시키는 수학
85. 이항정리
: 두 가지 선택지만 존재할 때 경우의 수.

[ 확률 ]
86. 확률
: 사건이 일어날 가능성을 수로 나타낸 것
87. 확률의 덧셈정리와 여사건의 확률
: 한 반에 생일이 같은 친구가 있을 확률
88. 조건부확률과 확률의 곱셈정리
: 폐암 환자·흡연자·남자일 확률 구하기
89. 사건의 독립과 종속
: 사건이 서로 영향을 주거나 주지 않을 때의 확률

[ 통계 ]
90. 확률변수와 확률분포, 이산확률분포
: 어떤 사건이 일어나거나 일어나지 않을 확률
91. 연속확률변수의 확률분포
: 연속으로 움직일 때의 확률
92. 이산확률변수의 기댓값과 표준편차
: 평균이 같은 두 사람 중, 누가 더 안정적일까?
93. 이항분포
: 확률이 일정한 독립시행을 반복할 때의 확률분포
94. 정규분포
: 실생활에서 가장 빈번하게 마주치는 확률분포
95. 모집단과 표본
: 신뢰할 수 있는 통계 조사의 바탕
96. 대푯값과 표본평균, 모평균
: 머리카락 개수가 같은 사람은 몇 명?
97. 모평균과 표본평균
: 모집단과 표본의 관계
98. 모평균의 추정
: 표본으로부터 얻은 자료로 모집단 추측하기
99. 모비율과 표본비율
: 감염병 종식을 앞당기는 데 필요한 수학
100. 모비율의 추정
: 숲에 사는 고라니를 전부 포획하지 않고 개체 수 알아내기

참고 문헌

출판사 서평

중·고교 개정교과서 집필위원이 직접 쓴 통째로 바뀌는 새 교육과정 대비 필독서
2028년 수학능력시험부터 확 바뀌는 출제 범위와 과목 완벽 대비!
주요 시험 출제 경험을 바탕으로, 출제 경향과 학습 전략을 콕 집어 안내

◎ 개념은 어떤 유형의 문제든 정확히 꿰뚫는 창이다!
개념이 수학의 90%다.
우리나라에서 수학의 괴롭힘을 가장 많이 받는 대상은 수학능력시험 문제를 풀어야만 하는 학생들이다. 입시의 문턱에 섰다면 수학을 잘하든 못하든 수학 때문에 괴롭기는 매한가지다. 수학, 그중에서도 초고난도 문제를 한 개라도 더 해결한 학생이 더 좋은 대학에 가는 건 부정할 수 없는 현실이다. 또한 문이과 통합수능 하에서 높은 수학 표준점수를 가진 이과생들의 ‘문과 침공’ 현상이 갈수록 심화되고 있다. 수학이 입시를 쥐락펴락하는 핵심 과목으로 자리 잡을수록 학생과 학부모들의 수학에 대한 두려움은 더 커지고 있다.
어떻게 하면 수학을 잘할 수 있을까? 수학의 두려움을 극복한 학생들의 공부법에서 힌트를 찾을 수 있다. 매년 수학능력시험에서 최고점을 받은 학생들이 인터뷰에서 빠지지 않고 하는 대답은 “교과서 위주로 공부했어요”이다. 학력고사 시절부터 수십 년째 반복되는 이 뻔한 이 답변에 수학 공부의 핵심이 담겨 있다. 이 말의 참뜻은 “개념을 정확히 파악하고 공부했어요”이다. 2007, 2009, 2015, 2022 개정 교육과정 중·고등학교 수학 교과서를 집필한 저자의 생각 역시 같다. “개념이 수학의 90%다”. 수학 본연의 뜻을 정확히 파악하고 개념과 개념을 연결하고 응용할 수 있는 ‘개념력’이 있으면, 어떤 유형과 난이도의 문제든 해결할 수 있다.
그러나 많은 학생이 수학 문제의 유형만 따라가며 문제를 해결하는 데 급급하다. 그 결과 개념은 그대로 두고 문제의 포장만 약간 바꿔도 처음 보는 문제로 인식하고 속절없이 무너진다. 개념을 확실하게 잡고 있으면, 절대로 흔들리지 않는다. 초고난도 문항을 ‘킬(kill)’할 수 있는 건 오직 ‘개념력’이다.

◎ 2028년 수능부터 공통과목이 되는
‘대수’, ‘미적분’, ‘확률과 통계’를 49개의 개념으로 완벽하게 정리!
11차 교육과정 개정으로 가장 큰 변화를 맞게 될 과목이 수학이다. 가장 큰 변화는 수학능력시험에서 수학이 공통+선택 과목 체제에서 공통과목 체제로 바뀌는 것이다. 2027년까지는 수1·2를 공통으로 풀고 ‘미적분2’, ‘확률과 통계’, ‘기하’ 중 한 과목을 선택해 푸는 방식이다. 그러나 2028년 수학능력시험부터는 ‘미적분2’와 ‘기하’가 빠지고, ‘대수’ ‘미적분1’ ‘확률과 통계’ 세 과목에서 문제가 출제된다. 즉 심화 수학이 제외되고 출제 범위가 축소된다. 2025년 고등학교 1학년부터 이러한 변화가 반영된 개정교과서로 공부하게 된다. 이 책은 2028년 수학능력시험부터 공통과목이 되는 ‘대수’, ‘미적분’, ‘확률과 통계’를 49개 개념으로 완벽하게 정리했다.
시중에 수학 개념서를 표방하는 책이 많지만, 대부분 우리 교육과정과는 괴리가 있는 번역서이거나 개정되기 이전 교과서를 바탕으로 하고 있다. 이 책은 최신 개정교과서를 집필한 저자가 확 바뀐 개정교과서를 가장 빨리 그리고 낱낱이 해부해, 고교 내신과 수학능력시험에 꼭 필요한 수학 개념을 집대성했다. “대부분 시험에서는 명제의 참과 거짓을 판별하는 것보다는 명제나 조건의 부정이 무엇인지를 묻는 문제가 더 많이 출제된다.” 개념 설명 뒷부분에 담겨 있는 이와 같은 출제 경향과 학습 전략은, 주요 시험 출제 위원으로 활동한 저자만이 귀띔해 줄 수 있는 알토란 정보다.

◎ 수학 용어는 어원과 유래로 쉽게 풀어내고,
초등학교 과정까지 거슬러 내려가 개념의 밑바닥부터 단단히 다진다!
수학 시험에서 사고력을 측정하는 문항의 비중이 증가하며, ‘개념력’과 함께 수학을 잘하기 위해 갖춰야 할 필수 능력으로 꼽히는 것이 ‘문해력’이다. 이 책은 각각의 개념이 왜 필요한지 알려주기 위해 MBTI, 백두산 폭발, 자유낙하 하는 물체의 속도, 양자역학, 승부차기, 스키드마크, 별의 밝기 등 해당 개념이 실생활에서 활용되는 다양한 경우를 예로 들며 시작한다. 이처럼 개념을 여는 글들은 우리 삶에 수학이 얼마나 깊숙이 침투해 있는지를 깨닫게 할 뿐 아니라, 그 자체로 문해력을 기르는 훌륭한 읽을거리다.
드라마 〈응답하라 1988〉에는 수학 용어와 관련한 에피소드가 나온다. 뒤늦게 수학 공부를 하려고 굳게 마음먹은 덕선이는 문제를 풀기도 전에 용어의 벽에 가로막히고 만다. “상수? 그게 누구야? 도대체 아무것도 없는데. 왜 이런 어려운 말을 붙이는 거야?” 이 책은 수학 개념을 이해하기 쉽도록 용어의 가장 말단인 어원과 유래 등 뿌리부터 파고든다.
공식을 무조건 암기하라고 강요하지 않는다. 덮어놓고 외운 공식은 문제를 푸는데 아무 도움이 되지 못하기 때문이다. 이 책은 공식이 어떻게, 왜, 어디서 나와서 어디에, 어떻게 활용되는지를 상세하게 풀어낸다. 또한 교과과정을 개정하며 생략되었으나 상위 개념 이해에 꼭 필요한 설명을 복원함으로써, 교과서 속 개념의 간극을 메운다.
수학은 하나를 알아야 그다음을 알 수 있는 위계적인 학문이다. 그래서 한 부분이라도 개념의 결손이 생기면 앞으로 나아갈 수가 없다. 이 책은 고등학교 수학을 범위로 하고 있지만, ‘근의 공식’과 ‘판별식’, ‘나눗셈’, ‘삼각비’처럼 중학교와 초등학교 과정까지 거슬러 내려가 개념의 가장 밑바닥부터 단단히 다진다.

작가정보

저자(글) 이광연

성균관대학교 수학과를 졸업한 뒤 동 대학원에서 박사학위를 받았다. 미국 와이오밍 주립대학교에서 박사후과정을 마치고 아이오와대학교에서 방문교수를 지냈다. 지금은 한서대학교 수학과 교수로 있으며, 2007, 2009, 2015, 2022 개정 교육과정 중·고등학교 수학 교과서 집필에 참여했다.
저자는 학생들이 수학 공부에 가장 많은 시간과 노력을 투자하면서도, 번번이 좌절하는 이유를 잘못된 공부법에서 찾았다. 유형 중심으로 공부하면 문제를 약간만 변형해도 속절없이 무너진다. 본연의 뜻을 정확히 파악하고 개념을 연결하고 응용할 수 있는 ‘개념력’이 있다면 어떤 문제든 해결할 수 있다. 저자는 다년간 교과서 집필위원으로 참여한 경험을 바탕으로, 고교 내신과 수학능력시험에 꼭 필요한 수학 개념을 집대성했다.
지은 책으로는 《미술관에 간 수학자(2018년 우수과학도서)》, 《웃기는 수학이지 뭐야》, 《밥상에 오른 수학》, 《신화 속 수학이야기》, 《수학자들의 전쟁》, 《멋진 세상을 만든 수학》, 《이광연의 수학블로그(2008년 우수과학도서)》, 《비하인드 수학파일》, 《이광연의 오늘의 수학(2011년 청소년 추천도서)》, 《시네마 수학》, 《수학, 인문으로 수를 읽다(2015년 우수과학도서)》, 《수학, 세계사를 만나다》 , 《피타고라스 생각 수업》 등이 있다.