변분법과 해석역학

김선화 , 이사용 지음

GS인터비전 2024년 10월 31일 출간 국내도서 : 2024년 07월 15일 출간

작품소개

책소개

저자인 김선화 박사가 그의 지도교수인 고양보석 교수의 강의 자료를 편집하여 식, 그림, 표들을 더욱 이해하기 쉽게 정리하였다.

목차

Chapter 1. 서론
1.1 최속강하선의 문제
1.2 축지선 문제
1.3 등주문제

Chapter 2. 변분법과 미분법의 비교

Chapter 3. 경계가 고정된 변분문제
3.1 Euler 방정식
3.2 Euler 방정식의 적분 가능한 예
3.2.1 함수 F가 를 포함하지 않는 경우
3.2.2 함수 에 대해 1차인 경우
3.2.3 함수 F가 만을 포함하는 경우
3.2.4 함수 F가 x와 y’만을 포함하는 경우
3.2.5 함수 F가 y와 y’만을 포함하는 경우
3.3 다변수 함수를 갖는 범함수의 변분
3.4 고차도함수를 갖는 범함수의 변분
3.4.1 변함수가 1개의 경우
3.4.2 변함수가 2개인 경우
3.4.3 변함수가 m개인 경우
3.5 여러 독립변수를 갖는 함수의 범함수의 변분
3.5.1 독립변수가 2개로 1계 편도함수를 포함한 경우
3.6 응용 예

Chapter 4. 경계가 움직이는 변분문제
4.1 단순한 문제의 경우
4.2 다변함수를 갖는 범함수의 변분
4.3 고계도함수를 갖는 범함수의 변분

Chapter 5. 구속조건을 갖는 변분문제
5.1 형의 구속
5.1.1 유사문제의 해법
5.1.2 변분문제에의 확장
5.2 형의 구속

Chapter 6. 변분문제의 직접해법
6.1 직접해법(direct method)
6.1.1 직접해법의 기본적인 설명
6.1.2 직접해법의 종류
6.2 유한차분에 의한 방법
6.3 Ritz의 방법
6.3.1 이론
6.3.2 기저함수계 에 대한 조건과 그 선정 방법
6.4 Galerkin의 방법
6.5 Kantorovich의 방법

Chapter 7. 변분원리의 응용
7.1 가상일의 원리
7.2 DAlembert의 원리
7.3 에너지보존의 법칙
7.4 최소작용의 원리
7.5 최소포텐셜 에너지의 원리
7.6 Hamilton의 원리
7.7 Lagrange의 운동방정식
7.7.1 보존계의 경우
7.7.2 비보존계의 경우

Chapter 8. 고유치 문제
8.1 고유치 문제 예
8.2 변분원리와 고유치
8.3 고유치 문제의 직접 해법
8.3.1 Ritz의 방법
8.3.2 Galerkin의 방법


참고문헌

책 속으로

머리말

사람은 오래 전부터 수학을 통해 무언가를 예측하려고 노력해 왔습니다. 자연 현상, 다른 사람들과의 관계, 심지어는 자신의 미래까지도 예측하려고 했습니다. 이런 점에서 수학적 방법이나 과학적 방법은 종교를 대신할 만한 예지 도구라고도 볼 수 있습니다. 그래서 수학은 더욱 발전하고, 정확해지는 방향으로 진화하였습니다. 수학의 발전은 우리가 세상을 보는 방식을 바꾸었고, 더욱 정밀한 예측을 가능하게 하였습니다.공학의 핵심 원칙 중 하나는 복잡한 자연 환경을 수학적 기술로 간결하게 표현하는 것입니다. 이는 물리적 현상을 정량화하고, 그 패턴을 파악하는데 중요한 역할을 합니다. 이러한 수학적 표현력은 공학자가 문제를 이해하고 분석하는 데 필수적이며, 이를 통해 새로운 이론을 창출해내는 능력을 갖춘다는 것이 중요합니다. 미분과 적분을 사용하는 큰 이유는 자연 환경을 해석하고 예측하기 위해서 입니다. 자연 현상들을 수학적 방정식으로 해석하고 그 특성을 파악하여 방정식이나 수식으로 나타내는 것입니다. 그리고 그 수식을 적분하여 미래를 예측하는 것입니다. 이는 미래의 자연 환경을 예측할 수 있는 도구로서의 수학의 역할을 잘 보여주는 예입니다.
수학 교과서를 깊이 있게 분석해보면 그 목적이 명확하게 드러납니다. 수학은 체계적으로 수의 체계를 논하고, 다양한 방정식과 함수를 다룹니다. 일차방정식부터 고차 다항식에 이르기까지, 복잡한 함수를 표현하는 방법을 확실하게 습득하게 됩니다. 이를 통해 우리는 복잡한 문제를 간결한 수식으로 표현하는 기술을 완벽하게 익힙니다. 이어서 행렬이나 급수를 배워 복잡한 함수를 간단한 사칙연산으로 변환하는 방법에 대해서도 자세히 배웁니다. 더 나아가 확률과 통계를 통해 미래를 예측하는 복잡한 방정식을 구축하는 능력을 키울 수 있습니다. 결국, 중고등학교에서 배우는 수학은 자연 환경을 설명하는 역학의 모든 것을 포괄할 수 있는 기초를 마련합니다. 이 모든 것은 수학이 자연 현상을 이해하고 예측하는 데 있어 결정적인 역할을 하는 도구임을 확실히 보여줍니다.
이 책은 저자인 김선화 박사가 그의 지도교수인 고양보석 교수의 강의 자료를 편집하여 식, 그림, 표들을 더욱 이해하기 쉽게 정리한 것입니다. 고양보석 교수님은 전문적인 지식을 기술자들에게 전달하는데 있어서, 가장 이해하기 쉬운 표현을 사용하시는 것을 목표로 하셨습니다. 그러나 그 지식을 더욱 깊이 있게 설명하여야 하는 전공자에게는 누구보다 어려운 방식으로 공부하게 하셨습니다. 변분법은 물리적인 현상을 수학적이고 공학적인 기술 방법론의 시작이라고 할 수 있습니다. 물리현상을 쉽게 설명하기 위해 복잡한 수학적인 기술방법에 대해 논의하는 것은 공학도로써 중요한 소명이라고 확신합니다. 이 분야를 어렵게 느끼고 학습을 회피하는 경향이 있는 기계공학 전공 학생들에게, 공학의 기본으로 돌아가는 것이 큰 의미가 있음을 진심으로 느끼고 이 책을 정리하였습니다.

작가정보

저자(글) 김선화

저자(글) 이사용