개념 있는 수학자: 공통수학 편

이광연 지음

어바웃어북 2024년 12월 06일 출간 국내도서 : 2024년 12월 06일 출간

작품소개

책소개

우리나라에서 수학의 괴롭힘을 가장 많이 받는 대상은 수학능력시험 문제를 풀어야만 하는 학생들이다. 수학 문제를 한 문제라도 더 해결한 학생이 좋은 대학에 가는 게 우리 현실이다. 수학이 입시를 쥐락펴락하는 핵심 과목으로 자리 잡을수록 학생과 학부모들의 수학에 대한 두려움은 더 커지고 있다.
어떻게 하면 수학을 잘할 수 있을까? 수학의 두려움을 극복한 학생들의 공부법에서 힌트를 찾을 수 있다. 매년 수학능력시험에서 최고점을 받은 학생들이 인터뷰에서 빠지지 않고 하는 대답은 “교과서 위주로 공부했어요”이다. 우리가 식상하다고 간과한 이 말의 참뜻은 “개념을 정확히 파악하고 공부했어요”이다. 다년간 교과서 집필위원으로 참여하며 수학 공부법을 고민하고 연구해 온 저자의 생각 역시 같다. “개념이 수학의 90%다”. 수학 본연의 뜻을 정확히 파악하고 개념과 개념을 연결하고 응용할 수 있는 ‘개념력’이 있으면, 어떤 유형과 난이도의 문제든 해결할 수 있다.
그러나 많은 학생이 수학 문제의 유형만 따라가며 문제를 해결하는 데 급급하다. 그 결과 개념은 그대로 두고 문제의 포장만 약간 바꿔도 처음 보는 문제로 인식하고 속절없이 무너진다. 개념을 확실하게 잡고 있으면, 절대로 흔들리지 않는다. 수학에서는 유형보다 개념이 중요하다.
2025년 고등학교 1학년 학생부터 적용되는 11차 교육과정 개정으로 가장 큰 변화를 맞게 될 과목이 수학이다. 가장 크게 바뀌는 부분이 수학능력시험에서 선택과목이었던 ‘확률과 통계’, ‘미적분’, ‘기하’에서 ‘기하’가 빠지고 ‘확률과 통계’와 ‘미적분’이 공통과목이 되는 것이다. 즉 출제 범위와 과목이 대폭 달라진다. 이 책은 확 바뀐 개정교과서를 가장 빨리 낱낱이 해부해, 고교 내신과 수학능력시험에 꼭 필요한 수학 개념을 집대성했다.
수학 개념은 용어의 가장 말단인 뿌리부터 파고들었다. 공식은 어떻게, 왜, 어디서 나와서 어디에, 어떻게 활용되는지를 풀어낸다. 또한 교과과정을 개정하며 생략되었으나 상위 개념 이해에 꼭 필요한 설명을 복원함으로써, 교과서 속 개념의 간극을 메운다. 수학은 하나를 알아야 그다음을 알 수 있는 위계적인 학문이라 한 부분이라도 개념의 결손이 생기면 앞으로 나아갈 수가 없다. 이 책은 고등학교 수학을 범위로 하고 있지만, ‘근의 공식’과 ‘판별식’, ‘나눗셈’, ‘삼각비’처럼 중학교와 초등학교 과정까지 거슬러 내려가 개념의 가장 밑바닥부터 차근차근 풀어낸다. 또한 개념 설명 뒷부분에는 출제 경향과 학습 전략을 콕 집어 안내함으로써, 수학 공부의 방향을 제시한다.

목차

머리말 _ 수학이 당신을 힘들게 할 때는 개념으로 돌아가라!

[ 다항식 ]
01. 다항식의 정리(내림차순, 오름차순)
: 방정식 해의 개수가 한눈에 쏙 !
02. 다항식의 나눗셈
: 초등학생도 이해할 수 있는 다항식의 나눗셈
03. 항등식과 미정계수법
: x가 무엇이 되든 항상 참
04. 나머지 정리와 인수정리
: 다항식을 직접 나눠보지 않고 나머지 구하기
05. 조립제법
: (다항식÷일차식)의 몫과 나머지를 가장 쉽게 구하는 방법
06. 인수분해
: 그림으로 이해하는 인수분해
07. 이차방정식의 근의 공식과 판별식
: 수학의 바다를 항해할 때 꼭 필요한 나침반

[ 방정식과 부등식 ]
08. 복소수
: 제곱해서 -1이 되는 수
09. 복소수의 연산
: 물과 기름처럼 섞이지 않는 실수와 허수
10. 이차방정식의 근과 계수의 관계
: 근과 계수 사이에 성립하는 관계식
11. 이차함수
: 이차함수 그래프는 언제나 데칼코마니
12. 이차방정식과 이차함수
: 판별식으로 그래프와 x축의 위치 관계 알기
13. 이차함수의 최대와 최소
: 이차함수로 백두산이 폭발했을 때의 상황 예측하기
14. 삼차방정식과 사차방정식
: 법정에 선 삼차방정식
15. 일차부등식
: 부등호를 사용해 수 또는 식의 대소 관계를 나타낸 것
16. 연립일차부등식
: 그림으로 풀면 쉬워지는 연립부등식
17. 이차부등식과 연립이차부등식
: 부등식보다는 방정식을 어떻게 풀 것인지에 더 집중

[ 경우의 수 ]
18. 합의 법칙과 곱의 법칙
: 사건 A와 B가 동시에 또는 따로 일어나는 경우의 수
19. 순열
: ‘순서’를 정해 나열하기
20. 조합
: 순서를 생각하지 않는 경우의 수

[ 행렬 ]
21. 행렬
: 연립방정식 풀이에서 AI까지, 행렬의 쓸모
22. 행렬의 덧셈과 뺄셈
: 액정 화면 속 생생한 이미지의 비밀
23. 행렬의 곱셈
: m×k행렬 A와 k×n행렬 B의 곱

[ 도형의 방정식 ]
24. 두 지점 사이의 거리
: 피타고라스 정리로 좌표평면 위 두 점 사이의 거리 구하기
25. 수직선 위에서 선분의 내분
: NASA 엔지니어가 종이접기에 빠진 까닭
26. 좌표평면 위에서 선분의 내분
: 존재하기 위해 사유했던 철학자의 위대한 발견
27. 일차함수와 직선의 방정식
: 일차함수로 전력 수요 예측하기
28. 두 직선의 평행
: 지성으로 우주와 공간을 꿰뚫은 탈레스
29. 두 직선의 수직
: 피타고라스 정리를 떠올리면 문제의 절반은 해결
30. 점과 직선 사이의 거리
: 피타고라스 정리로 좌표평면 위 두 점 사이의 거리 구하기
31. 원의 방정식
: 하나의 식만 알면 충분하다
32. 원과 직선의 위치 관계
: 만능열쇠 판별식

[ 집합 ]
33. 집합
: 대상을 분명하게 정할 수 있어야 집합
34. 집합 사이의 포함 관계
: A의 모든 원소가 B에 속할 때, A⊂B
35. 합집합과 교집합
: 합집합과 교집합 구하기
36. 집합의 연산 법칙
: 순서와 관계없이 성립하는 3가지 법칙
37. 여집합과 차집합
: “손 끝으로 원을 그려봐. 그걸 뺀 만큼 널 사랑해”를 집합으로 표현하면?
38. 드모르간의 법칙
: 디지털 시대의 터를 닦은 19세기 공식
39. 명제와 조건
: 문장이나 식의 부정은?
40. ‘모든’과 ‘어떤’을 포함한 명제
: 마크 트웨인의 풍자 이해하기
41. 명제 사이의 관계
: p가 화살표로 q를 찔렀을 때 벌어지는 일
42. 명제의 역과 대우
: 《돈키호테》식 난제를 해결할 묘수
43. 필요조건과 충분조건
: 소크라테스가 죽을 수밖에 없었던 이유

[ 함수 ]
44. 대응
: ‘짝을 이룬다’의 수학적 의미
45. 함수
: “상수? 그게 누구야?” 우리 곁의 덕선이를 위해
46. 함수의 그래프
: 정의역의 원소에 공역의 원소가 오직 한 개만 응대
47. 일대일 함수와 일대일 대응
: 일대일 대응 ⊂ 일대일 함수
48. 합성함수
: 두 함수를 합쳐 만든 새로운 함수
49. 역함수
: 원래 함수와 역함수의 그래프는 데칼코마니
50. 유리함수
: 라면을 끓이며 이해하는 함수의 원리
51. 무리함수
: “유리식으로 나타내는 건 무리입니다.”

참고 문헌
Bonus Stage _ 시험에 꼭 나오는 필수 수학 공식

출판사 서평

중·고교 개정교과서 집필위원이 직접 쓴 통째로 바뀌는 새 교육과정 대비 필독서
2028년 수학능력시험부터 확 바뀌는 출제 범위와 과목 완벽 대비!
주요 시험 출제 경험을 바탕으로, 출제 경향과 학습 전략을 콕 집어 안내

◎ 개념은 어떤 유형의 문제든 정확히 꿰뚫는 창이다!
개념이 수학의 90%다.
우리나라에서 수학의 괴롭힘을 가장 많이 받는 대상은 수학능력시험 문제를 풀어야만 하는 학생들이다. 입시의 문턱에 섰다면 수학을 잘하든 못하든 수학 때문에 괴롭기는 매한가지다. 수학, 그중에서도 초고난도 문제를 한 개라도 더 해결한 학생이 더 좋은 대학에 가는 건 부정할 수 없는 현실이다. 또한 문이과 통합수능 하에서 높은 수학 표준점수를 가진 이과생들의 ‘문과 침공’ 현상이 갈수록 심화되고 있다. 수학이 입시를 쥐락펴락하는 핵심 과목으로 자리 잡을수록 학생과 학부모들의 수학에 대한 두려움은 더 커지고 있다.
어떻게 하면 수학을 잘할 수 있을까? 수학의 두려움을 극복한 학생들의 공부법에서 힌트를 찾을 수 있다. 매년 수학능력시험에서 최고점을 받은 학생들이 인터뷰에서 빠지지 않고 하는 대답은 “교과서 위주로 공부했어요”이다. 학력고사 시절부터 수십 년째 반복되는 이 뻔한 이 답변에 수학 공부의 핵심이 담겨 있다. 이 말의 참뜻은 “개념을 정확히 파악하고 공부했어요”이다. 2007, 2009, 2015, 2022 개정 교육과정 중·고등학교 수학 교과서를 집필한 저자의 생각 역시 같다. “개념이 수학의 90%다”. 수학 본연의 뜻을 정확히 파악하고 개념과 개념을 연결하고 응용할 수 있는 ‘개념력’이 있으면, 어떤 유형과 난이도의 문제든 해결할 수 있다.
그러나 많은 학생이 수학 문제의 유형만 따라가며 문제를 해결하는 데 급급하다. 그 결과 개념은 그대로 두고 문제의 포장만 약간 바꿔도 처음 보는 문제로 인식하고 속절없이 무너진다. 개념을 확실하게 잡고 있으면, 절대로 흔들리지 않는다. 초고난도 문항을 ‘킬(kill)’할 수 있는 건 오직 ‘개념력’이다.

◎ 중·고교 개정교과서 집필위원이
고교 내신과 수학능력시험에 꼭 필요한 수학 개념을 집대성
11차 교육과정 개정으로 가장 큰 변화를 맞게 될 과목이 수학이다. 가장 큰 변화는 수학능력시험에서 수학이 공통+선택 과목 체제에서 공통과목 체제로 바뀌는 것이다. 2027년까지는 수1·2를 공통으로 풀고 ‘미적분’, ‘확률과 통계’, ‘기하’ 중 한 과목을 선택해 푸는 방식이다. 그러나 2028년 수학능력시험부터는 ‘기하’가 빠지고, ‘확률과 통계’와 ‘미적분’이 공통과목이 된다. 즉 출제 범위와 과목이 대폭 달라진다. 2025년 고등학교 1학년부터 이러한 변화가 반영된 개정교과서로 공부하게 된다.
시중에 수학 개념서를 표방하는 책이 많지만, 대부분 우리 교육과정과는 괴리가 있는 번역서이거나 개정되기 이전 교과서를 바탕으로 하고 있다. 이 책은 최신 개정교과서를 집필한 저자가 확 바뀐 개정교과서를 가장 빨리 그리고 낱낱이 해부해, 고교 내신과 수학능력시험에 꼭 필요한 수학 개념을 집대성했다. “대부분 시험에서는 명제의 참과 거짓을 판별하는 것보다는 명제나 조건의 부정이 무엇인지를 묻는 문제가 더 많이 출제된다.” 개념 설명 뒷부분에 담겨 있는 이와 같은 출제 경향과 학습 전략은, 주요 시험 출제 위원으로 활동한 저자만이 귀띔해 줄 수 있는 알토란 정보다.

◎ 수학 용어는 어원과 유래로 쉽게 풀어내고,
초등학교 과정까지 거슬러 내려가 개념의 밑바닥부터 단단히 다진다!
수학 시험에서 사고력을 측정하는 문항의 비중이 증가하며, ‘개념력’과 함께 수학을 잘하기 위해 갖춰야 할 필수 능력으로 꼽히는 것이 ‘문해력’이다. 이 책은 각각의 개념이 왜 필요한지 알려주기 위해 MBTI, 백두산 폭발, 자유낙하 하는 물체의 속도, 양자역학, 승부차기, 스키드마크, 별의 밝기 등 해당 개념이 실생활에서 활용되는 다양한 경우를 예로 들며 시작한다. 이처럼 개념을 여는 글들은 우리 삶에 수학이 얼마나 깊숙이 침투해 있는지를 깨닫게 할 뿐 아니라, 그 자체로 문해력을 기르는 훌륭한 읽을거리다.
드라마 〈응답하라 1988〉에는 수학 용어와 관련한 에피소드가 나온다. 뒤늦게 수학 공부를 하려고 굳게 마음먹은 덕선이는 문제를 풀기도 전에 용어의 벽에 가로막히고 만다. “상수? 그게 누구야? 도대체 아무것도 없는데. 왜 이런 어려운 말을 붙이는 거야?” 이 책은 수학 개념을 이해하기 쉽도록 용어의 가장 말단인 어원과 유래 등 뿌리부터 파고든다.
공식을 무조건 암기하라고 강요하지 않는다. 덮어놓고 외운 공식은 문제를 푸는데 아무 도움이 되지 못하기 때문이다. 이 책은 공식이 어떻게, 왜, 어디서 나와서 어디에, 어떻게 활용되는지를 상세하게 풀어낸다. 또한 교과과정을 개정하며 생략되었으나 상위 개념 이해에 꼭 필요한 설명을 복원함으로써, 교과서 속 개념의 간극을 메운다.
수학은 하나를 알아야 그다음을 알 수 있는 위계적인 학문이다. 그래서 한 부분이라도 개념의 결손이 생기면 앞으로 나아갈 수가 없다. 이 책은 고등학교 수학을 범위로 하고 있지만, ‘근의 공식’과 ‘판별식’, ‘나눗셈’, ‘삼각비’처럼 중학교와 초등학교 과정까지 거슬러 내려가 개념의 가장 밑바닥부터 단단히 다진다.

작가정보

저자(글) 이광연

성균관대학교 수학과를 졸업한 뒤 동 대학원에서 박사학위를 받았다. 미국 와이오밍 주립대학교에서 박사후과정을 마치고 아이오와대학교에서 방문교수를 지냈다. 지금은 한서대학교 수학과 교수로 있으며, 2007, 2009, 2015, 2022 개정 교육과정 중·고등학교 수학 교과서 집필에 참여했다.
저자는 학생들이 수학 공부에 가장 많은 시간과 노력을 투자하면서도, 번번이 좌절하는 이유를 잘못된 공부법에서 찾았다. 유형 중심으로 공부하면 문제를 약간만 변형해도 속절없이 무너진다. 본연의 뜻을 정확히 파악하고 개념을 연결하고 응용할 수 있는 ‘개념력’이 있다면 어떤 문제든 해결할 수 있다. 저자는 다년간 교과서 집필위원으로 참여한 경험을 바탕으로, 고교 내신과 수학능력시험에 꼭 필요한 수학 개념을 집대성했다.
지은 책으로는 《미술관에 간 수학자(2018년 우수과학도서)》, 《웃기는 수학이지 뭐야》, 《밥상에 오른 수학》, 《신화 속 수학이야기》, 《수학자들의 전쟁》, 《멋진 세상을 만든 수학》, 《이광연의 수학블로그(2008년 우수과학도서)》, 《비하인드 수학파일》, 《이광연의 오늘의 수학(2011년 청소년 추천도서)》, 《시네마 수학》, 《수학, 인문으로 수를 읽다(2015년 우수과학도서)》, 《수학, 세계사를 만나다》 , 《피타고라스 생각 수업》 등이 있다.