매스매티카를 활용한 수학 물리 놀이하기 2

박준현 저자 지음

지오북스 2024년 09월 01일 출간 국내도서 : 2024년 06월 30일 출간

작품소개

책소개

코로나-19로 인해 비대면 원격수업의 요청이 생기고 비슷한 시기에 창의적인 수학· 정보역량을 갖춘 인재를 육성하고자 하는 필요가 생기면서 많은 수학 교사들이 접하는 수학의 작도 및 코딩툴을 익혔습니다. 하지만 통상 학교 현장에서 통상 사용되는 애플리케이션은 제가 학부 시절 익힌 여러 가지 물리나 사회현상을 설명하는 비선형 미분방정식의 해를 자유롭게 해결하기에는 충분하지 않았습니다. 이 때 제게 매스매티카는 나의 요구사항을 잘들어줄 수 있을까 고민하였고 도전을 해보기로 마음을 먹었습니다. 제가 계산 기능을 갖추고 있는 매스매티카에 대해 처음 들어본 것은 대학교 학부 시절이므로 20년이 이제는 넘었습니다. 그리고 매스매티카(13.1버전)를 직접 접하고 책을 사서 탐독하면서 코드를 익힌 것은 이제 갓 1년이 조금 넘었습니다. 처음에는 이장훈 선생님이 편찬하신 두꺼운 메뉴얼을 펴놓고 무작정 순서대로 읽어나가면서 PC를 통해 매스매티카 코딩을 입력하며 느리지만 한 걸음씩 익혀나갔습니다. 궁금한 것이 생기면 다한테크 황지원 부장의 고마운 도움을 받기도 하였습니다. 매스매티카 실력자 분들의 다양한 작품이 수록된 Wolfram Demonstrations Project 를 처음 접하고 부족한 내 실력을 비교하면서 절망하기도 하였습니다. 하지만 이장훈 선생님의 책에 수록된 코드작품과 친절한 설명을 하나하나 분석하고 파헤쳐 가며 코드를 단계적으로 익히고 마침내 간단한 여러 가지 코드를 짤 수 있게 되었습니다. 매스매티카의 문법이 한국의 중고등학교 수업 현장에서 자주 사용되는 여타 애플리케이션에 비해 어렵다는 것이 사실입니다. 하지만 매스매티 카의 문법은 명료하기 때문에 일단 익히고 나면 정말 놀라울 정도로 다양한 함수를 애매함이 없이 깔끔하게 만드는 것이 가능하다는 것과 이상적분이나 무한급수의 합 및 무한곱에서 파이나 자연상수 등이 포함된 값을 명확히 출력하는 계산 기능을 고려하면 매스매티카는 충분히가 아니라 상당히 매력적인 툴입니다. 또한 매스매티카에서 내장하고 있는 여러 가지 특수함수를 보며 매스매티카는 대학이나 연구소에서만 사용하는 것이 아닌 학문 탐구를 즐기는 성향을 가진 고등학생과 중고등학교 교사들 또한 학습하고 연구할 때 사용하기에는 안성맞춤이라는 것을 느끼게 되었습 니다. 매스매티카를 익히면서 처음에는 비선형 미분방정식으로 나타내어지는 물리 현상의 해에 대해 그래프를 그리고 시간에 따른 추이를 동영상으로 시연하는 것에 집중하였지만 차츰 랜덤 추출기능을 활용한 통계분석에서 시작하여 최근 인공지능 수학에서 주로 다루는 경사하강법을 이용한 최소다항식 문제에 이르기까지 다양한 주제에 관심을 가지게 되어 관련 수학적 내용을 담고 코드를 참조하거나 본인이 직접 코드를 작성하여 이 책을 펴냈습니다. 이 책은 크게는 점화식풀기, 방정식풀기, 미분방정식풀기, 다양한 물리수학코드, 다양한 함수기능 소개로 이뤄져 있습니 다.
1권과 2권을 굳이 차례대로 읽을 필요없이 눈길이 가는 주제부터 읽고 모르는 함수기능이 있다면 함수기능 소개 부분을 병행하여 읽고 참조하면 되도록 책을 구성하였습니다. 그리고 이론을 소개하면서 그래픽을 추가하기도 했는데 일부는 알지오매스 툴로 제작하였습니다. 매스매티카 프로그램은 Wolfram미국 본사의 공식 한국 대리점인 ㈜ 다한테크를 통해 구매할 수 있습니다. 공자가 말하기를 〈아는 자는 좋아하는 자만 못하고 좋아하는 자는 즐기는 자만 못하다〉 에 대해 들어보신 분이 많을 것입니다. 이 책을 통해 학구적 성향을 가진 독자들이 매스매티카 코딩으로 수학과 물리 놀이를 즐기면서 자신의 탐구 역량을 키워나갈 수 있길 바랍니다.

목차

Ⅰ.선형미분방정식
1. 선형미분방정식의 이론적 해법 11
가. 상수계수 제차 선형미분방정식
(1) 특성방정식의 근이 모두 다를 때
(2) 특성방정식이 중근을 가질 때
(3) 특성방정식이 다중근을 가질 때
나. 비제차 선형미분방정식
다. 코시선형 비제차 미분방정식
2. 매스매티카로 미분방정식 풀기 16
가. 제차 선형미분방정식 풀기
나. 특수해가 있는 비제차 선형미분방정식 풀기
(1) 초기조건이 없는 비제차 선형미분방정식
(2) 초기조건이 있는 비제차 선형미분방정식
다. 코시 미분방정식 풀기
(1) 제차 코시미분방정식 풀기
(2) 비제차 코시 미분방정식 풀기
라. 수치적 방법으로 미분방정식 풀기
마. 르장드르 미분방정식 풀기
(1) 멱급수 방법을 통한 이론적 분석
(2) p값에 따른 르장드르 미분방정식 풀기
(3) 르장드르 미분방정식의 해를 표로 나타내기
(4) 다항식의 르장드르 다항식 전개식 찾기
바. 베셀 미분방정식 풀기
(1) 베셀 미분방정식의 해(멱급수 방법)
(2) 베셀 미분방정식의 일차독립인 해
(3) 구면 베셀 미분방정식
(4) p값에 따른 베셀 미분방정식 풀기
(5) 베셀 미분방정식의 해를 표로 나타내기
(6) 베셀함수를 멱급수로 나타내기
사. 물체의 단진자운동 분석
(1) 선형해와 비선형해의 비교
(2) 라그랑지언을 활용한 운동 분석
아. 미분방정식의 해를 그래프로 다양하게 나타내기
Ⅱ.연립 제차선형계
1. 연립 제차선형계의 정의 41
2. 연립 제차선형계의 해 41
가. 행렬 가 서로 다른 2개의 실수 고유값 를 가질 때
나. 행렬 가 서로 다른 2개의 허수 고유값 을 가질 때
다. 행렬 가 고유값 를 중근으로 가질 때
(1) 서로 다른 일차독립인 고유벡터가 2개일 때
(2) 고유벡터가 하나일 때
3. 연립 거의 선형계 43
가. 임계점의 정의
나. 거의 선형계의 정의
다. 임계점 근방에서의 거의 선형계
4. 매스매티카로 연립 제차선형미분방정식 풀기 45
가. 고유값이 서로 다른 두 실근인 경우 풀기
(1) 초기조건이 없는 경우
(2) 초기조건이 있는 경우
나. 고유값이 서로 다른 두 허근인 경우 풀기
다. 고유값이 중복되는 경우 풀기
라. 해를 그래프로 나타내기
마. 수치적 방법으로 연립미분방정식 풀기
5. 매스매티카로 비선형계-거의 선형계 풀기 55
가. 시간에 따른 추이 살펴보기
나. 초기값에 따른 전체적 개형 살피기
6. 매스매티카로 로트카-볼테라 방정식 풀기 61
가. 시간에 따른 추이 살펴보기
나. 초기값에 따른 전체적 개형 살피기

Ⅲ. 매스매티카로 다양한 프로그램 만들기
1. 행성 운동 67
가. 행성 운동의 이론적 분석
(1) 유효퍼텐셜에너지 을 통한 궤도 분석
(가) 인 경우(원궤도)
(나) 인 경우(타원궤도)
(2) 미분방정식을 통한 궤도 분석
(3) 이심률을 통한 해의 분석
(가) (포물선궤도)
(나) (타원궤도)
(다) (쌍곡선궤도)
(4) 타원궤도를 도는 행성계의 에너지
(5) 행성의 근일점 이동
나. 테이블을 활용한 다양한 행성 운동의 정적 자취
다. Manipulate를 활용한 행성 운동의 정적 자취
라. 타원궤도를 도는 행성의 근일점 이동
마. 행성 운동의 동영상
2. 사이클로이드 82
가. 평면에서 굴러가는 사이클로이드 동영상
나. 최단시간 경로를 따르는 사이클로이드 동영상
(1) 사이클로이드
(2) 빗면
(3) 임의의 곡선
3. 단진자 운동 90
가. 비선형 단진자 운동의 동영상
나. 선형 및 비선형 단진자 운동의 비교
다. 선형 단진자 운동의 동영상과 주기
4. 이중스프링 운동 97
가. 이중스프링 운동의 단순화 동영상
나. 스프링에 내재된 수학과 코딩
(1) 점의 색깔과 크기 및 선분의 색깔과 두께
(2) 간단한 스프링의 코딩
(3) 스프링의 코딩에 대한 수학적 분석
(4) 축약 표현을 사용한 스프링 코딩
다. 이중스프링 운동의 동영상
5. 페르마점의 역학실험 108
가. 페르마점 구하기
나. 페르마점의 역학실험 동영상
6. 양끝이 고정된 파동의 방정식과 동영상 117
7. 전자기장에서 전하의 운동 동영상 119
8. 오일러-라그랑지 방정식 120
가. 오일러-라그랑지 방정식의 이론
나. 사이클로이드 곡선의 최단거리성
(1) 이론적 분석
(2) 매스매티카로 미분방정식 풀기
다. 회전하는 극소곡면
(1) 이론적 분석
(2) 매스매티카로 미분방정식 풀기
라. 원뿔 위의 측지선
(1) 이론적 분석
(2) 매스매티카로 미분방정식 풀기
(3) 해석적 방법으로 다양한 측지선 관찰하기
9. 강제진동자에 의한 공명 131
가. 이론적 분석
나. 강제진동자에 따른 공명현상 관찰
다. 강제진동자에 따른 공명현상 테이블
라. 일정한 주기적 힘의 영향 하에 공명현상 관찰
마. 강제진동자에 의한 공명현상 동영상

Ⅳ. 매스매티카의 여러 함수 기능 익히기
1. 편미분과 전미분 137
가. 편미분
(1) 함수 혹은 방정식을 편미분하기
(2) 편미분 함수(도함수)를 새로운 함수로 만들기
(가) 도함수의 오류 찾기
(나) 새로운 도함수 정의하기
나. 전미분
2. 3차원 벡터 미분연산자 145
가. 그래디언트(gradient)
나. 다이버전스(divergence)
다. 컬(curl)
라. 라플라시안(laplacian)
3. 그래프 및 도형 함께 표시하기 151
가. 그래프 함께 표시하기
(1) Plot그래프를 함께 표시하기
(2) ParametricPlot그래프를 함께 표시하기
나. 도형 함께 표시하기
다. Grid를 이용한 격자 그래픽
(1) 2행 1열로 나타내는 경우
(2) 1행 2열로 나타내는 경우
(3) 2행 2열로 나타내는 경우
4. 그래프의 동영상 만들기 157
가. 그래프의 동영상
(1) 기본방법
(2) 실시간 함수식 표기
(3) 실시간 동적변수 표기
(4) 동적변수의 증분 지정
(5) 동적변수의 값을 유한하게 지정
나. 함수와 변수를 직접 입력하는 그래프
다. 사인함수 위를 움직이는 점의 동영상

참고 (미분 및 적분 공식) 166
참고문헌 168

작가정보

저자(글) 박준현 저자

성균관대 물리학과 학사 졸업, 수학과 복수전공(2006.2.)충북대학교 수학교육과 학사졸업(2011.2.)성균관대 졸업학점: 4.45