하루 한 권, 기하학

오카베 츠네하루 , 혼마루 료 지음 | 원지원 옮김

드루 2024년 05월 31일 출간 종이책 : 2023년 09월 27일 출간

작품소개

책소개

그림으로 그리는 것이 진짜 이해하는 것?
기하를 통해 본질을 이해해보자!

과학 이론을 탐구하다 보면 알게 된다. 과학은 아주 흥미롭지만, 다가가기에는 너무 심오한 학문이라는 것을. 이와 같은 이유로 우리는 학교 졸업과 동시에 수학이나 과학에 등을 진다. 누군가는 재미있어 보이지만 너무 어렵다고 말하고, 또 누군가는 써먹지도 못하는 것을 왜 알아야 하냐고 묻는다. 그래서 준비했다. 재미있어 보이기는 하는데, 써먹지 못했던 ‘과학’을 일상의 영역으로! 나의 오늘이자 내일인 ‘일상’과 우주 정거장에서나 쓸모 있을 법한 ‘과학’이 공존할 수 있는 단어였던가?

사실 우리는 우리도 모르는 사이에 과학의 세계에서 살아가고 있다. 나도 몰랐던 ‘나의 과학적인 일상’을 하루 한 권 시리즈를 통해 들여다 보자. 새로운 세계가 펼쳐질지도 모른다. 또한, 과학을 이해하기 위한 언어인 ‘수학’까지도 일상의 영역으로 가지고 와 단순한 언어로 아주 쉽게 배울 수 있도록 차례를 구성했다. 몰라도 살아가는 데 아무 문제 없지만, 배우면 훨씬 더 교양 있는 ‘일상 과학’의 영역을 탐험하자! 언제 어디서나 가볍게, 한 손에 들어오는 ‘작은 노력’으로 커다란 지식의 즐거움을 누릴 수 있을 것이다.

수학의 역사를 거슬러 올라가 보면 그 시작은 수를 세고 도형을 분석하기 위해서였다고 한다. 그래서인지 수학이 비약적으로 발전한 그리스 시대에는 수학이 즉 기하학이었다. 기원전 300년경 고대 그리스의 수학자 유클리드는 당시의 그리스 수학을 체계적으로 정리해 『유클리드 원론』을 집필했다. 이는 기하학의 원류로 여겨져 오랫동안 전 세계 수학 교육의 바이블로 자리 잡았다. 또한 과학의 발전에도 큰 보탬이 되었다. 위대한 수학자 가우스는 ‘정수론은 수학의 여왕’이라고 했다. 그렇다면 ‘기하학은 수학의 왕’이라고 할 수 있다. 기하를 통해 본질을 쉽게 이해할 수 있기 때문이다. 그림으로 그려보는 경험을 통해 복잡한 개념을 추상화하거나 더 간단히 표현하는 법도 익힐 수 있다. 〈하루 한 권, 기하학〉은 기하로 문제를 푸는 즐거움을 많은 사람이 알았으면 하는 바람으로 만들어진 책이다. 만화를 활용해 도형으로 이해하는 기하의 특징도 잘 살렸으니 이 한 권으로 기하의 세계에 빠져보자!

목차

들어가며

제1장 태초에 기하학이 있었다!
1-1 기하란?
1-2 유클리드 원론』에 나오는 ‘점, 선, 면’이란?
1-3 차원을 한 단계 높여서 쉽게 답 찾기
1-4 원은 왜 360°도일까? 라디안이란?
1-5 ‘평행선이 만나는 것’의 역발상
1-6 ‘내각의 합은 180°’의 증명을 쉽고 간단하게
1-7 연필 회전법으로 각도 측정하기
COLUMN 기하학에 왕도는 있다? 유클리드에게 반론 제기!

제2장 기하의 기본은 ‘변형’
2-1 직사각형의 넓이가 가로×세로인 이유
2-2 넓이는 그대로 두고 간단한 도형으로 바꿔 생각하기
2-3 형태를 바꿔 간단하게 만들기
2-4 삼각형 넓이로부터 ‘수열의 공식’ 도출하기
2-5 학구산도 넓이로 생각하면 간단!
2-6 소금물의 농도도 면적산으로 구하기
2-7 벌집과 디리클레 도형
2-8 강한 삼각형, 약한 사각형
COLUMN 1796년 3월 30일, 가우스의 진로를 결정한 사건

제3장 원과 π의 신비에 도전
3-1 곡선으로 둘러싸인 토지의 넓이 구하기
3-2 정사각형으로부터 원의 넓이를 구한 고대 이집트 사람들
3-3 『린드 파피루스』의 원의 넓이 문제에 도전
3-4 아르키메데스의 실진법을 통한 원주율 접근
3-5 직감으로 파악하는 ‘원의 넓이’
3-6 무게로부터 원주율 구하기
3-7 이쑤시개로 원주율을 구하는 뷔퐁의 바늘
3-8 원주율이 3.1보다 크다는 사실을 증명하려면?
3-9 내주와 외주에는 어느 정도 차이가 있을까?
3-10 대발견을 이끈 케플러의 실진법
COLUMN 편지에 일부터 틀린 정리를 적었던 아르키메데스

제4장 피타고라스의 정리와 삼각비의 지혜
4-1 피타고라스의 정리는 기하학의 보배
4-2 기하의 세계에서 탄생한 ‘무리수’
4-3 ‘밧줄 측량사’의 정리?
4-4 피타고라스의 정리 증명하기
4-5 sin, cos, tan의 위치 관계 기억하기
4-6 알아두면 편리한 사인 정리·코사인 정리
4-7 곱자로 루트를 계산하는 지혜
COLUMN 피타고라스 ‘학파’의 정리?

제5장 쉽게 이해되는 부피의 세계
5-1 삼각뿔은 삼각기둥의 !
5-2 카발리에리의 원리
5-3 구의 부피도 카발리에리의 원리로 구하기
5-4 구의 겉넓이를 산출하는 방법
5-5 지구의 무게 측정해 보기
5-6 후지산의 부피를 여러 개의 원뿔대로 구하기
COLUMN 세키 다카카즈의 수학 업적

제6장 합동·닮음의 심오한 세계
6-1 합동과 닮음, 의외의 오해?
6-2 삼각형의 합동 조건, 닮음 조건이란?
6-3 피라미드의 높이를 닮음비로 측정
6-4 ‘공간 도형의 비’로 피라미드의 높이 구하기
6-5 슐리만도 놀란 휴지로 나무 높이를 재는 방법
6-6 모든 포물선은 닮음?
6-7 선대칭, 점대칭의 시선에서 사물 보기
6-8 시의 상징과 가문 문양의 대칭성 퀴즈
COLUMN 최초의 수학자 탈레스의 지혜

제7장 적분으로 곡선 도형의 넓이 구하기
7-1 매스매티카 섬의 넓이를 추산하는 방법
7-2 매스매티카 섬의 진짜 넓이에 조금씩 가까워지기
7-3 곡선과 직선으로 둘러싸인 넓이
7-4 인티그럴로 ‘구간’을 적분하기
7-5 을 적분하면?
7-6 얇게 썬 조각으로부터 원래의 부피 구하기
7-7 회전체의 부피를 적분으로 구해 보기
7-8 원뿔의 부피가 ‘정확히 원기둥의 ’이 되는 증명!
COLUMN 뉴턴은 ‘마지막 수메르인’?

제8장 신기한 ‘기하 우주’
8-1 토폴로지는 고무판 기하학
8-2 데포르메 지도는 ‘본질에 접근하는’ 토폴로지 적 발상
8-3 오일러의 ‘한붓그리기’로 난제 풀기
8-4 ‘비유클리드’라는 이름의 새로운 기하학
8-5 필즈상과 100만 달러 상금을 거절한 수학자
8-6 프랙털은 ‘자기 닮음’의 기하학
8-7 프랙털 차원을 계산하기
8-8 아마존, 나일강의 프랙털 차원을 계산하는 방법
COLUMN 오일러가 공주에게 보낸 편지 - 기하학에 왕도가 있다!

주요 참고 도서

책 속으로

수학의 역사를 거슬러 올라가 보면 그 시작은 수를 세고 도형을 분석하기 위해서였다고 합니다. 그래서인지 수학이 비약적으로 발전한 그리스 시대에는 ‘수학=기하학(철학)’이었습니다.
-3쪽

위대한 수학자 가우스는 ‘정수론은 수학의 여왕’이라고 했습니다. 그렇다면 ‘기하학은 수학의 왕’이라고 할 수 있겠습니다. 기하를 통해 본질을 쉽게 이해할 수 있기 때문입니다.
-4쪽

알렉산드로스 대왕 사망 후 그리스·페르시아·인도에 이르는 대제국은 후계자들에 의해 분할됐다. 그중 현재의 이집트 부근을 지배한 인물이 프톨레마이오스 1세다. 프톨레마이오스는 학술 문화의 부흥에 힘을 쏟았고 다수의 학자를 초빙했다. 기원전 300년경의 유클리드도 그중 한 명이었다.
-30쪽

삼각형은 특수한 도형으로 세 변의 길이가 정해지면 모양이 무너지지 않는다. 사각형은 네 변의 길이가 정해져도 옆에서 힘을 줘서 밀면 금세 와르르 무너져 평행 사변형이 되어 버린다. 이 삼각형의 견고한 특성을 건축에 이용한 것이 ‘트러스’와 ‘브레이스’다.
-56쪽

예로부터 수많은 수학자가 원주율 산출에 도전했다. 아르키메데스의 실진법과 같이 복잡한 계산(멱급수 전개 등)을 이용하는 것도 있다. 한편 그중에는 ‘무게로 원주율을 구하는’ 참신한 방법도 있다. 실제로 골판지 등의 두꺼운 종이를 준비해 자르고 무게를 측정하기 때문에 누구나 손쉽게 π의 값을 구할 수 있다. 골판지는 문구점에서 1,000원 정도면 살 수 있다. 골판지에 다음과 같은 두 개의 그림을 그리고 잘라내 보자.
-74쪽

화성 궤도를 ‘원 궤도가 아닌 타원 궤도’라고 주장한 것은 독일의 천문학자 케플러(1571~1630년)였다. 케플러도 처음에는 코페르니쿠스와 마찬가지로 ‘화성은 원 궤도’라고 생각했지만, 그의 스승 튀코 브라헤(1546~1601년)가 남긴 방대한 화성 관측 데이터를 보고 타원 궤도 쪽으로 견해가 바뀌었다고 알려진다.
-84쪽

같은 도형을 회전 이동시킨 것은 ‘합동’이며 그중에서도 ‘원점을 중심으로 180° 회전시킨 것’을 점대칭 이동이라고 한다. 따라서 점대칭 이동한 도형은 원래의 도형과 합동이라고 할 수 있다. 한편 선대칭 이동이라 불리는 것도 있다. 이는 수직선, 수평선 등 ‘선’을 축으로 도형을 ‘접는 것’이다. 나아가 선대칭 이동으로 자기 자신을 포갤 수 있는 도형을 선대칭 도형이라 하며 대칭축을 기준으로 접으면 완벽히 포개진다. 선대칭으로 자기 자신이 겹칠 때 그 도형을 선대칭이라고 한다.
-150쪽

우리 인류는 지구를 밖에서 볼 수 없는 시대에도 지구가 둥글다는 것을 알고 있었다. 망망대해로 사라져 가는 배는 하단의 바닥 부분부터 보이지 않게 되고 마지막으로 가장 높은 돛대가 사라진다. 반대로 배가 수평선으로부터 보이기 시작할 때는 처음에 돛대가 보이고 마지막에 하단이 보인다. 수평선을 바라보고 있으면 수평선이 둥글다는 것을 알 수 있는데 지금은 우주에서 관찰하고 확인할 수 있게 되었다.
-192쪽

출판사 서평

배움에는 끝이 없고, 세상에는 신비로운 것들이 너무 많으니까!
몰라도 괜찮지만 배우면 훨씬 더 교양 있는 ‘일상 과학’의 세계로 들어가 보자

내가 배운 물리, 화학, 생물은 정말 어려운 것이었을까? 그렇게나 풀기 싫었던 미적분과 기하학은 대체 왜 배워야 했던 걸까. 일상에서 써먹을 수 있는 날이 오기는 할까? 그런 의문을 마음 어디엔가 품고 있었다면, ‘하루 한 권 시리즈’를 펼쳐 보자.

내일을 바꾸는 단 한 권의 지식, 하루 한 권 시리즈!

하루 한 권 시리즈는 우리가 일상에서 활용할 수 있도록 과학이 갖춘 실용적인 모습을 파헤치는 과학 교양 도서다. 과학을 잘 모르는 사람들도 쉽게 읽고 이해할 수 있도록 도판, 표, 친절한 설명을 통해 최대한 쉽게 내용을 담았다. 예컨대 어떻게 하면 훨씬 더 과학적으로 노력할 수 있는지, 어제 사 온 씨앗을 가장 빨리 싹틔우는 방법, 새집 증후군은 왜 생기는지까지. 일상에서 마주할 법할 부분들을 과학적으로 설명했다. 어렵거나 이해할 수 없는 내용이 아니라 우리 삶과 밀착된 문제를 과학을 통해 풀어내고, 그것들을 어떻게 바라보면 좋을지 함께 고민하는 책이다. 배움에는 끝이 없고 세상에는 너무 신기한 것들이 많으니까. 우리가 살아가는 일상의 ‘어떤’ 현상들을 과학의 눈으로 분석적으로 바라볼 수 있다면 얼마나 좋을까? 그것도 아주 가볍게, 책 한 권으로 말이다. 그리고 그러한 시각을 가진다는 건, 우리가 살아감에 있어 생존의 무기 하나를 더 가지게 됨을 의미한다. 이러한 무기는 우리가 어떤 현상에 지혜롭게 대처하고 싶을 때 활용할 수 있는 힘이 되어줄 것이다.

다양한 주제, 내 취향에 맞는 카테고리를 찾아보자!

책은 한 손에 가볍게, 지식은 머릿속 깊숙이! 언제 어디서나 가볍게 읽을 수 있도록 한 손에 들어오는 작은 크기로 만들었다. 각각의 주제마다 검증된 집필진이 써 내려가는 과학의 세계를 탐험하다 보면, 어느 순간 숫자와 지식으로 바라보는 세계에 푹 빠지게 될지도 모른다. 지하철이나 버스, 쉬는 시간에 조금씩 읽을 수 있도록 아주 쉽고 재미있는 내용으로만 구성했다. 세상을 분석적으로 바라보는 나의 모습을 기대해도 좋다. 주제 역시 물리, 화학, 생물학, 지구과학, 수학 등 다양한 카테고리로 구성되어 있어 내 취향에 맞는 책으로만 꺼내 읽기에도 적당하다. 나는 어떻게 하면 천재가 되어 일류의 세계로 향할 수 있는지… 사람이 만들어 낸 ‘진짜 광기’의 화학 물질이 무엇인지. 이런 뜬금없는 질문도 좋다. 우리가 단순히 감각하는 세상 말고, 세상의 보이지 않는 현상까지도 과학적으로 풀어내 보자. 과학은 이론이 아니라 실전이니까!

무엇이든 그림으로 그려서 이해해보는 기하학의 세계!

고대 이집트에서는 매년 나일강이 범람해 기존 토지 구획을 모두 망가뜨려 아주 곤란했다고 한다. 강물이 모두 빠진 후 원래 땅 주인들에게 같은 넓이의 땅을 다시 나눠주기 위해서는 매번 토지 측량을 해야만 했다. 이 토지 측량으로부터 기하학이 시작됐다. 그렇게 출발한 기하학은 삼각형, 사각형이나 원, 사각뿔(피라미드), 구 등 다양한 형태의 넓이와 부피를 구하는 방법을 찾아냈다. 도형이라는 것이 항상 2차원에 있는 것은 아니다. 3차원, 4차원 등 입체일 때도 많다. 그 넓이나 부피를 구하려고 머릿속으로만 생각하다 보면 도무지 이해가 안 되기 마련이다. 그럴 때는 조금 어렵더라도 2차원인 종이 위에 그림으로 그려본다. 한 각도로 그려서 모양이 가늠이 가지 않으면 조금 돌려서 다른 각도로도 그려본다. 그러다 보면 어느 순간 그 도형이 어떻게 생겼는지, 넓이나 부피를 어떻게 구하면 될지 불현듯 깨닫게 되기도 한다. 그래서 〈하루 한 권, 기하학〉은 도형의 넓이와 부피를 구하는 방법들을 많은 그림과 함께 설명한다. 그리고 그에 유용한 피타고라스의 정리, 적분을 비롯한 다양한 개념도 만화를 활용해 쉽게 설명했다. 나아가 토폴로지나 비유클리드 기하학, 프랙털 도형 같은 다소 생소한 용어까지 소개하고 있으니 기하학에 관심이 있다면 이 책을 반드시 읽어보도록 하자.

작가정보

저자(글) 오카베 츠네하루

도쿄대학 대학원에서 이학 연구과를 수료했다. 사이타마 대학 경제학부 교수를 거쳐 현재 동 대학 명예교수로 재직중이며 일본 수학협회 부회장을 역임하고 있다. 1999년 저서 『分数ができない大学生 분수를 못하는 대학생』〈공동 편집, 東洋経済新報社〉으로 학력 저하 논의의 불씨를 지펴 일본 수학회 출판상(2006년)을 수상했다. 『マンガ幾何入門 만화 기하 입문』,『マンガ·微積分入門 만화·미적분 입문』〈講談社〉 등 새로운 시점의 베스트셀러 서적도 다수 집필했다.

저자(글) 혼마루 료

요코하마시립대학을 졸업했다. 일본 수학협회 회원이며, 출판사 근무를 거쳐 과학 전문 작가로 독립했다. 난해한 개념을 한마디로 쉽게 정리하고, 복잡하게 얽힌 내용도 단순하게 풀어내는 ‘초월 해석’에 정평이 나 있다.

번역 원지원

한국예술종합학교에서 예술사를 전공했고, 졸업 후 이화여자대학교 통역번역대학원에서 석사 학위를 취득했다. 옮긴 책으로는 『선생님도 놀라게 하는 미적분』, 『프로의 방정식 BLOCK7』, 『아름다운 원소 118』, 『누구나 쉽게 배우는 원소』, 『꽃, 내 생활에 피어오르다』, 『실전 살롱워크 가이드북』, 『월간 보브(공역)』등이 있다.