하루 한 권, 미적분

곤노 노리오 지음 | 일본콘텐츠전문번역팀 옮김

드루 2024년 05월 31일 출간 종이책 : 2023년 04월 28일 출간

작품소개

책소개

본질을 이해하면 술술 풀리는 미적분 계산
미분과 적분은 덧셈과 뺄셈처럼 서로 반대 관계에 있다!

과학 이론을 탐구하다 보면 알게 된다. 과학은 아주 흥미롭지만, 다가가기에는 너무 심오한 학문이라는 것을. 이와 같은 이유로 우리는 학교 졸업과 동시에 수학이나 과학에 등을 진다. 누군가는 재미있어 보이지만 너무 어렵다고 말하고, 또 누군가는 써먹지도 못하는 것을 왜 알아야 하냐고 묻는다. 그래서 준비했다. 재미있어 보이기는 하는데, 써먹지 못했던 ‘과학’을 일상의 영역으로! 나의 오늘이자 내일인 ‘일상’과 우주 정거장에서나 쓸모 있을 법한 ‘과학’이 공존할 수 있는 단어였던가?

사실 우리는 우리도 모르는 사이에 과학의 세계에서 살아가고 있다. 나도 몰랐던 ‘나의 과학적인 일상’을 하루 한 권 시리즈를 통해 들여다 보자. 새로운 세계가 펼쳐질지도 모른다. 또한, 과학을 이해하기 위한 언어인 ‘수학’까지도 일상의 영역으로 가지고 와 단순한 언어로 아주 쉽게 배울 수 있도록 차례를 구성했다. 몰라도 살아가는 데 아무 문제 없지만, 배우면 훨씬 더 교양 있는 ‘일상 과학’의 영역을 탐험하자! 언제 어디서나 가볍게, 한 손에 들어오는 ‘작은 노력’으로 커다란 지식의 즐거움을 누릴 수 있을 것이다.

〈하루 한 권, 미적분〉은 미적분의 개념과 본질을 이해할 수 있도록 한 단계씩 차근차근 설명한다. 미적분은 물리학, 화학, 경제학과 같이 사회를 발전시키는 많은 분야에서 이용되고 있다. 미적분의 본질을 이해하면 이처럼 다양한 분야의 학문을 받아들이는 데 도움이 된다. 하지만 미적분을 어렵다고 생각해 피하려고만 하는 사람이 대부분이다. 이 책과 함께라면 누구나 미적분을 마스터할 수 있다. 단순히 공식을 외워서 계산만 하는 것이 아니라 개념부터 확실히 짚고 넘어가자. 미적분을 쉽게 이해할 수 있도록 다양한 일러스트를 담아 구성했다. 수포자도 할 수 있다! 미적분에 대한 자신감을 쑥쑥 키워 보자!

목차

들어가며

제1장 미분이란?
1 - 1 2차원 좌표란?
1 - 2 그래프란?
1 - 3 함수란? ①
1 - 4 함수란? ②
1 - 5 수의 집합을 가시화
1 - 6 함수 ‘y = x’란?
1 - 7 함수 ‘y = x²’이란?
1 - 8 함수의 정의역과 치역
1 - 9 상수함수와 삼차함수
1 - 10 ‘직선의 기울기’란?
1 - 11 ‘기울기’가 ‘속도’가 되는 이유
1 - 12 곡선의 기울기란? ①
1 - 13 곡선의 기울기란? ②
1 - 14 ‘접선’이란?
1 - 15 ‘곡선의 기울기’는 ‘접선의 기울기’
1 - 16 ‘곡선의 기울기’를 구하는 방법
1 - 17 ‘한없이 작다’는 개념, 무한소
1 - 18 ‘극한 계산’이란?
1 - 19 극한 계산의 기호 ‘lim’란?
1 - 20 일차함수의 기울기 구하기
1 - 21 이차함수 ‘y＝x2’의 기울기 구하기
1 - 22 미분이란 곡선의 기울기를 구하는 것
Column1 야심가였던 라플라스

제2장 미분을 해보자
2 - 1 사물의 변화를 분석할 수 있는 미분
2 - 2 미분계수를 다시 알아보기
2 - 3 미분계수가 0이 되는 점을 찾기
2 - 4 ‘자유 낙하’를 수학적으로 생각해 보기
2 - 5 시시각각 변하는 사과의 낙하 속도
2 - 6 ‘속도’와 ‘시간’의 관계
2 - 7 시간과 속도의 함수의 미분계수는 ‘가속도’
2 - 8 ‘위치의 변화’와 ‘속도’, ‘가속도’의 관계
2 - 9 곡선을 직선이라고 가정
2 - 10 우선 대략적으로 생각해 보기
2 - 11 이등분했던 그래프를 사등분 해보기
2 - 12 점점 잘게 쪼갰을 때의 그래프 형태
2 - 13 꺾은선의 수를 한없이 늘려 보기
2 - 14 x방향의 증분 ‘dx’, y방향의 증분 ‘dy’
2 - 15 도함수란?
2 - 16 미분을 사용한 문제 분석
2 - 17 함수는 실제로 그래프를 그려 분석
2 - 18 도함수가 0이 되는 점을 찾기
2 - 19 극대점·극소점과 최대점·최소점
2 - 20 100m짜리 로프로 만들 수 있는 가장 큰 화단
2 - 21 현실 세계의 문제를 수학문제로 나타내기
2 - 22 세로 길이를 일단 x로 놓고 보기
2 - 23 미분의 공식 （xn）′＝nxn－1
2 - 24 ‘다항식’을 미분하는 방법
2 - 25 x로 미분해 면적의 변화를 분석하기
2 - 26 도함수가 0이 되는 점을 계산하기
2 - 27 증감표 만들기
2 - 28 그래프를 그려 최댓값 구하기
2 - 29 구한 결과의 고찰도 중요
2 - 30 미분 계산의 흐름을 한 번에 살펴보기
Column2 ‘미적분 교과서’의 기초를 다진 코시

제3장 적분이란?
3 - 1 나일강의 범람이 낳은 적분
3 - 2 실진법 ①
3 - 3 실진법 ②
3 - 4 실진법 ③
3 - 5 칸을 한없이 잘게 쪼개기
3 - 6 ‘정사각형’을 쪼개기
3 - 7 정사각형을 ‘선의 모임’이라고 생각하기
3 - 8 한없이 나눈 것을 모으기
3 - 9 적분 기호 ‘(인티그럴)’의 의미
3 - 10 적분으로 직사각형의 일부 면적을 구하기
3 - 11 미분과 적분의 관계
3 - 12 함수를 적분하기 ①
3 - 13 함수를 적분하기 ②
3 - 14 ‘적분 결과가 가지는 의미’를 고찰하기
3 - 15 평행사변형의 면적을 적분으로 구하기
Column3 ‘리만 적분’의 창시자 리만

제4장 적분을 계산해 보자
4 - 1 복잡한 함수의 적분의 어려움
4 - 2 ‘원시함수’란?
4 - 3 Xⁿ의 원시 함수는 1/n+1xn+1
4 - 4 적분이란 원시함수를 구하는 것
4 - 5 정적분이란?
4 - 6 상수함수를 정적분 해보기
4 - 7 일차함수 y = x를 정적분
4 - 8 원시함수를 구하는 공식은 1/n+1xn+1
4 - 9 ‘부정적분’이란?
4 - 10 적분상수 ‘C’란?
4 - 11 미분하면 잃게 되는 정보 한 가지
4 - 12 정적분에서 적분상수 ‘C’가 필요없는 이유
4 - 13 적분 계산을 총정리
4 - 14 적분으로 그릇의 부피를 계산해 보기
4 - 15 함수로 그릇의 형태를 나타내기
4 - 16 적분으로 그릇의 부피를 구하기
4 - 17 적분의 수식을 세워 보기
4 - 18 적분 계산도 하나씩 가능
4 - 19 그릇의 부피를 계산해 구하기
Column4 측도론을 구축한 ‘르베그 적분’의 르베그

마치며
주요 참고 도서

책 속으로

그래프 다음에 등장하는 것은 함수이다. 함수라는 말을 들으면 어렵게 느껴질 수도 있겠지만 함수와 미적분은 떼려야 뗄 수 없는 관계에 있다. 그래프를 제대로 분석하려면 함수가 반드시 필요하다. 함수란 수와 수 사이의 관계를 나타내는 것이다. 함수를 이해하기 위해서는 먼저 집합을 이해해야 한다.
-16쪽

여기서 잠시 미적분의 역사를 간단히 살펴보자. 사실 무한소에 대한 개념이 정립될 때까지는 상당히 오랜 시간이 걸렸다. ‘미적분의 핵심’이라고 할 수 있는 부분의 완성이 늦어졌기 때문에 미적분 자체를 학문으로 인정하지 않은 학자도 있을 정도였다.
-44쪽

lim를 사용한 실제 계산의 예는 나중에 함수 그래프의 기울기를 구체적으로 계산할 때 소개할 텐데 언뜻 어려워 보이는 계산이더라도 자세히 보면 간단한 계산인 경우가 많다. 어려워 보인다고 처음부터 겁낼 필요는 없다.
-48쪽

직선 형태를 띠는 함수의 그래프는 쉽게 분석할 수 있다. 그래프의 어느 점을 취해도 그 기울기는 항상 일정하기 때문이다. 반면 오른쪽 페이지와 같이 곡선을 그리는 그래프는 그 위치에 따라 기울기가 변화하게 된다.
-60쪽

이와 같이 ‘사물의 변화를 간단하게 이해할 수 있는 형태로 바꿔 대략적으로 파악해 보는 것’을 근사라고 한다. 처음부터 완벽한 결과를 구하지 않고 ‘먼저 근사해서 이해하는’ 방법은 많은 학문에서 사용되고 있다.
-78쪽

정작 미적분에서 가장 어려운 부분은 미적분의 계산 자체가 아니라, 현실의 문제를 미적분으로 풀 수 있도록 어떻게 ‘수학적으로 표현’하는가이다. 말하자면 생각의 전환이 중요한 것이다. 그 다음은 ‘손을 움직여’ 미적분을 계산하기만 하면 된다.
-98쪽

이로써 적분 계산을 뒤집으면 미분 계산이 된다는 사실을 알았다. 그렇다면 지금까지 살펴본 미분의 계산 방법을 검토함으로써 적분의 계산 방법도 알 수 있을 것이다.
-140쪽

적분 계산의 의미를 생각하다 보면 ‘한없이 가는 선을 한없이 많이 모은다’는 난해한 개념에 부딪힌다는 것은 앞에서 이미 언급했다. 제3장에서부터 얘기했듯이 면적이나 부피 등 적분으로 계산해야 할 대상은 알기 쉽지만 그 계산 방법은 알기 어렵다. 여기서 한 가지 떠올려야 할 사실이 있다. 그것은 바로 미분과 적분이 ‘덧셈과 뺄셈과 같은 표리 관계에 있다’는 것이다.
-154쪽

지금까지 살펴본 적분 계산은 적분하는 범위를 숫자나 기호로 나타내 지정했다. 이렇게 적분 범위가 정해진 적분을 정적분이라 부른다. 적분하는 구간이 정해져 있기 때문에 정적분의 결과는 기본적으로 수치로 나온다.
-160쪽

프랑스 출신의 앙리 르베그(1875~1941년)는 ‘길이란 무엇인가’, ‘면적이란 무엇인가’에 대해 철저하게 연구한 끝에 ‘사물 측정의 궁극적인 이론’인 ‘측도론’을 구축했다. 이것을 바탕으로 만들어진 것이 ‘르베그 적분’이다.
-190쪽

출판사 서평

배움에는 끝이 없고, 세상에는 신비로운 것들이 너무 많으니까!
몰라도 괜찮지만 배우면 훨씬 더 교양 있는 ‘일상 과학’의 세계로 들어가 보자

내가 배운 물리, 화학, 생물은 정말 어려운 것이었을까? 그렇게나 풀기 싫었던 미적분과 기하학은 대체 왜 배워야 했던 걸까. 일상에서 써먹을 수 있는 날이 오기는 할까? 그런 의문을 마음 어디엔가 품고 있었다면, ‘하루 한 권 시리즈’를 펼쳐 보자.

일을 바꾸는 단 한 권의 지식, 하루 한 권 시리즈!

하루 한 권 시리즈는 우리가 일상에서 활용할 수 있도록 과학이 갖춘 실용적인 모습을 파헤치는 과학 교양 도서다. 과학을 잘 모르는 사람들도 쉽게 읽고 이해할 수 있도록 도판, 표, 친절한 설명을 통해 최대한 쉽게 내용을 담았다. 예컨대 어떻게 하면 훨씬 더 과학적으로 노력할 수 있는지, 어제 사 온 씨앗을 가장 빨리 싹틔우는 방법, 새집 증후군은 왜 생기는지까지. 일상에서 마주할 법할 부분들을 과학적으로 설명했다. 어렵거나 이해할 수 없는 내용이 아니라 우리 삶과 밀착된 문제를 과학을 통해 풀어내고, 그것들을 어떻게 바라보면 좋을지 함께 고민하는 책이다. 배움에는 끝이 없고 세상에는 너무 신기한 것들이 많으니까. 우리가 살아가는 일상의 ‘어떤’ 현상들을 과학의 눈으로 분석적으로 바라볼 수 있다면 얼마나 좋을까? 그것도 아주 가볍게, 책 한 권으로 말이다. 그리고 그러한 시각을 가진다는 건, 우리가 살아감에 있어 생존의 무기 하나를 더 가지게 됨을 의미한다. 이러한 무기는 우리가 어떤 현상에 지혜롭게 대처하고 싶을 때 활용할 수 있는 힘이 되어줄 것이다.

다양한 주제, 내 취향에 맞는 카테고리를 찾아보자!

책은 한 손에 가볍게, 지식은 머릿속 깊숙이! 언제 어디서나 가볍게 읽을 수 있도록 한 손에 들어오는 작은 크기로 만들었다. 각각의 주제마다 검증된 집필진이 써 내려가는 과학의 세계를 탐험하다 보면, 어느 순간 숫자와 지식으로 바라보는 세계에 푹 빠지게 될지도 모른다. 지하철이나 버스, 쉬는 시간에 조금씩 읽을 수 있도록 아주 쉽고 재미있는 내용으로만 구성했다. 세상을 분석적으로 바라보는 나의 모습을 기대해도 좋다. 주제 역시 물리, 화학, 생물학, 지구과학, 수학 등 다양한 카테고리로 구성되어 있어 내 취향에 맞는 책으로만 꺼내 읽기에도 적당하다. 나는 어떻게 하면 천재가 되어 일류의 세계로 향할 수 있는지… 사람이 만들어 낸 ‘진짜 광기’의 화학 물질이 무엇인지. 이런 뜬금없는 질문도 좋다. 우리가 단순히 감각하는 세상 말고, 세상의 보이지 않는 현상까지도 과학적으로 풀어내 보자. 과학은 이론이 아니라 실전이니까!

미적분의 개념을 이해하면 계산은 술술 풀린다!

사실 미적분은 이론을 완벽하게 이해하지 못해도 쉽게 계산할 수 있다. 마술과 비슷한 ‘트릭’이 있기 때문이다. 정말 신기한 마술도 트릭의 원리를 알면 시시하게 느껴진다. 생각보다 단순한 트릭으로 사람들의 눈을 속이는 것이다. 마찬가지로 미적분 역시 원리만 알고 있으면 계산은 쉽다. TV 프로그램 등을 보면 어린 아이들이 어려운 미적분 계산을 쉽게 푸는 모습이 종종 나오는데, 과연 이 아이들은 미적분의 개념도 완벽하게 이해하고 있을까? 물론 직접 묻기 전까지는 모르는 일이다. 하지만 미적분의 개념부터 제대로 이해한 상태에서 계산할 수 있는 것과 개념을 모른 채 계산만 할 수 있는 것은 다르다. 이 책을 읽으면 그 차이를 명확하게 알 수 있다. 다향한 일러스트를 통해 미적분의 개념과 계산 방법을 직관적으로 이해할 수 있도록 구성했다. 누구나 미적분의 본질을 쉽게 이해할 수 있도록 한 단계씩 차근차근 설명한다. 미적분이 어렵다고 더 이상 피하려고만 하지 말자. 수포자도 미적분과 친해질 수 있다!

작가정보

저자(글) 곤노 노리오

1957년 도쿄 출생. 1982년 도쿄대학 이학부 수학과 졸업. 1987년 도쿄공업대학 대학원 이공학연구과 박사 과정 단위취득 퇴학. 무로란공업대학 수리과학 공통강좌 조교수, 코넬대학 수리과학연구소 객원연구원을 거쳐, 현재 요코하마국립대학 대학원 공학연구원 교수로 재직하고 있다. 주요 저서는 『統計学 最高の教科書 통계학 최고의 교과서』·『数はふしぎ 숫자로 배우는 초보 수학』·『ざっくりわかるトポロジー 한 권으로 알 수 있는 토폴로지』·『マンガでわかる多彩ネットワーク 만화로 배우는 복잡한 네트워크』〈SBクリエイティブ〉, 『図解雑学 確率 도해 잡학 확률』〈ナツメ社〉, 『図解雑学 確率モデル 도해 잡학 확률 모델』〈ナツメ社〉 등이 있다. 『Newton』〈ニュートンプレス〉의 감수 등도 맡았다.

번역 일본콘텐츠전문번역팀