대수기하학 입문

김영훈 , 최진원 지음

서울대학교출판문화원 2023년 12월 10일 출간 국내도서 : 2022년 07월 30일 출간

작품소개

책소개

이 책은 학부과정의 선형대수학, 추상대수학, 위상수학, 미분기하학, 복소함수론에 대한 지식이 있는 학생들을 대상으로 대수기하학의 기초를 소개하는 입문서다. 학부생 및 대수기하에 관심 있는 대학원생과 교수를 위한 책이므로 스킴(scheme) 대신 다양체(variety)를 통해 풍부한 직관을 개발하고 핵심 아이디어에 대한 통찰을 기를 수 있도록 구성하고, 독자의 이해를 돕고 구체적인 계산을 보여주기 위하여 대수기하 계산 프로그램인 Macaulay2를 이용한 계산도 다룬다. 대수기하학의 역사와 대수적 다양체, 대수적 사상, 유리 사상, 차원, 접평면, 차수 등 대수기하학의 기본 개념을 살펴보고, 현대 모듈라이 이론의 바탕이 되는 대수적 군과 작용의 기초와 대수기하와 관련된 계산에 사용되는 그뢰브너 기저를 다룬다.

목차

들어가며
CHAPTER 0. 대수기하학의 역사
0.1 근대 이전
0.2 데카르트
0.3 데자르그
0.4 리만
0.5 힐버트
0.6 그로텐딕
0.7 아티야
0.8 다른 분야와의 상호작용
0.9 위기 또는 도약
0.10 학생의 관점

CHAPTER 1. 아핀 다양체와 사영 다양체
1.1 아핀 공간과 아핀 다양체
1.2 사영 공간과 사영 다양체
1.3 선형 다양체
1.4 자리스키 위상과 유한 집합

CHAPTER 2. 초곡면과 곡선
2.1 초곡면과 2차 곡선
2.2 베주 정리와 변곡점 .
2.3 3차 평면 곡선
2.4 뒤틀린 3차 곡선과 유리 정규 곡선

CHAPTER 3. 힐버트 영점 정리와 대수적 사상
3.1 힐버트 영점 정리
3.2 기약 다양체와 기약 분해
3.3 대수적 다양체상의 보통 함수
3.4 대수적 사상
3.4.1 준아핀 다양체로 가는 대수적 사상
3.4.2 준사영 다양체로 가는 대수적 사상
3.4.3 베로네세 사상
3.4.4 세그레 사상
3.4.5 그래프 사상

CHAPTER 4. 사영과 그라스만 다양체
4.1 뿔과 사영
4.1.1 뿔
4.1.2 사영
4.1.3 닫힌 사상
4.1.4 구성가능 집합
4.2 무리와 매개변수 공간
4.3 그라스만 다양체

CHAPTER 5. 유리 함수와 유리 사상
5.1 유리 함수와 유리 사상
5.1.1 유리 함수
5.1.2 유리 사상
5.1.3 유리 사상의 그래프
5.2 쌍유리 사상
5.3 유리 사상의 차수
5.4 뻥튀기
5.5 할선 다양체

CHAPTER 6. 차원
6.1 차원의 정의
6.2 위로 연속
6.3 힐버트 다항식

CHAPTER 7. 접평면과 매끈함
7.1 접평면
7.2 사영적 접평면과 가우스 사상
7.3 그라스만 다양체의 접평면과 베르티니 정리
7.3.1 그라스만 다양체의 접평면
7.3.2 내쉬 뻥튀기
7.3.3 베르티니 정리

CHAPTER 8. 차수
8.1 사영 다양체의 차수
8.2 베주 정리
8.3 차수 계산
8.3.1 베로네세 다양체
8.3.2 세그레 다양체
8.3.3 뿔과 이음(join)
8.3.4 베주 정리의 증명
8.3.5 그라스만 다양체의 차수

CHAPTER 9. 대수적 군과 불변량
9.1 대수적 군과 작용
9.2 고전적 군 작용
9.2.1 PGL2(k)의 작용
9.2.2 PGL3(k)의 작용
9.2.3 POn(k)의 작용
9.2.4 PGLn(k)의 P(∧rkn)에의 작용
9.3 몫

CHAPTER 10. 그뢰브너 기저
10.1 아이디얼 소속 문제
10.2 그뢰브너 기저
10.2.1 단항식 순서
10.2.2 나누기 알고리즘과 그뢰브너 기저
10.3 부흐베르거 알고리즘
10.4 그뢰브너 기저의 계산 및 응용
10.4.1 컴퓨터를 통한 계산
10.4.2 방정식의 풀이
10.4.3 소거와 사영
10.4.4 다항식 표현

부록
참고문헌
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인물정보

저자(글) 김영훈

서울대학교 자연과학대학 수리과학부 교수

저자(글) 최진원

숙명여자대학교 이과대학 수학과 교수