수학, 생각의 기술 UP

박종하 지음

김영사 2023년 12월 06일 출간 종이책 : 2023년 01월 10일 출간

작품소개

책소개

수능과 입사 면접에서 인공지능과 TV 예능까지, 수많은 곳에서 수학을 찾는다. 하지만 여전히 많은 사람들이 수학은 어렵다고 말하며 수포자로 남는다. 복잡한 수식과 증명에 가려진 수학의 진짜 모습은 무엇일까? 수학 박사이자 자기계발 분야의 인기 강사 박종하는 수학의 본능은 ‘생각’이라고 단언한다. 이 책은 중학교 수준의 수학 지식만 있으면 누구나 이해하고 즐길 수 있는 수학 문제를 바탕으로 우리 인생의 무기가 될 수학적 사고법 7가지를 알려준다. 다양하고 방대한 풀이 과정을 읽다 보면 어느새 수학의 재미를 발견하고 스스로 생각하는 힘 이 강해질 것이다.

목차

들어가며: 수학으로 생각하다

1장 비판적 사고: 당연한 것에 “왜 그렇지?” 묻는다
[창의력 미술관] 두 평행선은 만날 수 없을까? | 유클리드의 공리 | 주식 흐름을 10번 연속으로 맞힌 사람 | 마술 같은 피보나치 수열 | 유대인 어머니의 질문법 | 피타고라스의 무리수와 소크라테스의 질문

2장 개념적 사고: 본질을 발견하다
[창의력 미술관] 그림이란 무엇일까? | 자연수와 짝수의 개수는 같다: 갈릴레이의 논증 |
0.99999… = 1, 정말일까? | 정사각형을 4등분하는 수십 가지 방법 | 음료수 캔이 둥근 이유: 적정 기술 | 창조는 개념 모방이다 | 수학을 잘 공부하는 방법

3장 연결적 사고: 낯선 것들끼리 결합하다
[창의력 미술관] 현명한 지혜는 어떻게 얻어지는가? | 언어와 수학 사이에 다리 놓기 | 그림과 수식을 연결한다 | 피타고라스의 정리 챌린지 | 그리스인과 바빌로니아인의 사고법 | 눈으로 보면서 생각한다

4장 전환적 사고: 다른 시각으로 접근하다
[창의력 미술관] 이런 작품은 나도 할 수 있을 것 같은데? | 관점을 전환하다 | 간접적으로 접근하다 | 페르미 추정 | 반대편을 보다 | 내가 아닌 상대를 보자

5장 패턴적 사고: 단순화하여 해결하다
[창의력 미술관] 어떻게 딱 봐도 그의 작품인지 알 수 있을까? | 바둑판에 정사각형은 모두 몇 개 있을까? | 복잡한 문제에서 단순한 패턴을 발견하다 | 관찰을 통해 패턴을 찾는다 | 핵심 포인트를 찾는다 | 단순하게 정리하다

6장 차원적 사고: 한 단계 위에서 생각하다
[창의력 미술관] 4차원을 상상할 수 있을까? | 입체적으로 생각하다 | 전략적으로 생각하다 | 메타인지, 전교 1등의 공통점 | 논리보다 한 단계 위에서 생각하다 | 양자택이, 2마리 토끼를 동시에 잡는다

7장 모순적 사고: 패러독스를 인정하고 즐기다
[창의력 미술관] 무한한 것이 존재할까? | 답이 될 수 없는 답, 패러독스 | 패러독스가 아닌 단지 우리의 착각 | 거짓말쟁이 패러독스 | 뫼비우스의 띠 | 우리의 현실이 패러독스다

책 속으로

지금 우리는 새로운 문명을 맞닥뜨리고 있습니다. 4차 산업혁명, 인공지능, 빅데이터 등의 단어로 이야기되는 새로운 세상에 적응하고 앞서나가려면 반드시 수학이 필요합니다. 수학은 다양한 분야에서 그 위력을 발휘하며, 일상의 놀라운 경험 뒤편에는 항상 수학이 숨어 있습니다._10쪽, ‘들어가며’

수학적 사고의 첫 번째 단계는 생각을 확인하는 것입니다. 다른 사람의 말이나 자신의 생각을 확인하는 과정을 갖는 것이 수학적 사고입니다. 너무나 당연한 것에 “왜 그렇지?”“꼭 그렇게 해야 하나?” 같은 질문을 던지는 겁니다. 이런 질문을 통해 더 많이, 더 깊이 알게 되는 것이 수학입니다._23쪽, ‘1장 비판적 사고’

제가 개인적으로 좋아하는 공부 방법은 달력의 뒷면 같은 커다란 백지를 놓고, 거기에다가 책을 보지 않으며 내가 공부한 내용을 써보는 것입니다. 수학 공식을 유도해보기도 하고 ‘내가 선생님이라면 이런 문제를 낼 거야’라는 생각으로 문제도 내봅니다. 그렇게 책을 보지 않고 백지를 많이 채울수록 더 많이 공부하게 됩니다._147쪽, ‘2장 개념적 사고’

시각화는 눈으로 생각하는 기술입니다. 처음에는 수식을 그림으로 표현하는 게 낯설지 모릅니다. 하지만 몇 번 반복하다 보면, 눈이 생각이라도 하듯 풀이법이 보이기 시작합니다. 시각화된 풀이는 자질구레한 수식보다 훨씬 명쾌하고 지혜로워 보입니다._210쪽, ‘3장 연결적 사고’

대부분의 수학 문제는 직접적인 방식으로 푸는 것이 최선입니다. 문제를 해결하는 가장 빠른 방법이 정해져 있고 시험 시간은 한정되어 있으니까요. 하지만 직접적인 방식으로 풀리지 않는다고 포기하면 안 되겠지요. 빠르게 접근 방식을 바꾸어 간접적인 방식을 동원해야 합니다. 머리도 아프고 시간도 오래 걸리겠지만, 그런 과정을 통해 더욱 유연하게 사고할 수 있게 됩니다._236쪽, ‘4장 전환적 사고’

이처럼 문제 해결의 핵심은 단순 계산이 아닙니다. 복잡한 계산을 잘하는 것이 능력이 아니라, 복잡한 문제를 간단한 형태로 바꾸는 것이 진짜 능력입니다. 때로는 하나의 복잡한 문제를 여러 개의 간단한 문제로 바꿀 수도 있습니다. 문제가 여러 개여도 단순한 문제는 쉽게 풀리기 때문에, 복잡한 문제 하나를 여러 개의 간단한 형태로 바꾸는 것은 좋은 전략입니다._301쪽, ‘5장 패턴적 사고’

내가 아는 것과 모르는 것도 제대로 구별하지 못한다면 주도적으로 학습하기 어렵겠지요. 이것은 성인의 경우도 마찬가지입니다. 자신이 어떤 사람인지 정확하게 알고 자신의 강점을 개발하거나 자신의 상황에 대한 올바른 이해를 바탕으로 기회를 찾는 등, 메타인지 능력이 높은 사람이 주도적이고 성공적인 삶을 삽니다._365쪽, ‘6장 차원적 사고’

확실하면서도 불확실하고, 논리적이면서도 비논리적으로 엉켜 있는 것이 현실입니다. 모든 것이 합리적이고 세상이 이해할 수 있는 것으로만 채워져 있다면 그것도 재미없지 않을까요. 세상은 애매모호한데, 심리학자 로버트 스턴버그는 “애매모호함을 참고 견디는 것이 현명함”이라고 지적합니다. 모호함을 외면하기보다는 그 속에서 새로운 지혜를 찾는 것이 현명한 사람의 자세입니다._459쪽 ‘7장 모순적 사고’

출판사 서평

“수학을 왜 공부해요?” “재밌고 유용하니까요!”
어른과 청소년이 함께 읽는 현실 밀착 수학책
수학하라, 지금껏 몰랐던 새로운 가능성을 경험할 것이다

우리는 왜 수학을 배울까? 4차 산업혁명 시대를 맞이하여 수학의 주가가 날로 오르고 있지만, 이 질문에 명쾌하게 답하기는 쉽지 않다. 좋은 대학에 들어가기 위한 수능 시험에도, 좋은 회사에 취직하기 위한 인적성 시험에도 수학은 필요하다. 하지만 우리가 수학을 공부하는 궁극적인 이유는 일상의 문제를 해결하기 위해서이다. 수학을 잘 활용하는 사람은 수학 문제를 손쉽게 푸는 것을 넘어선다. 자신이 마주한 현실의 문제를 숫자와 도형 같은 수학적인 언어로 표현해서 수학적인 방법으로 해결할 줄 아는 사람이 진정으로 수학 좀 하는 사람이다.
창의력을 깨우고 일상을 바꾸는 7가지 수학적 사고법을 한 권에 담은 책 〈수학, 생각의 기술 UP〉이 출간되었다. 카이스트 출신 수학 박사이자 자기계발 강사인 저자 박종하는 이 책에서 복잡한 계산에 뒷걸음치며 수학을 멀리하는 수많은 수포자에게 이렇게 말한다. 수학은 충분히 재미있으며 매우 실용적인 학문이라고. 흥미를 돋우는 명화와 퀴즈를 통해 수학을 가로막는 장벽을 허물고 재미와 가치를 발견할 수 있도록 돕는다.

“수학이라고 하면 복잡한 계산을 생각하는 경우가 많습니다. 또는 어려운 방정식을 수학적인 개념으로 풀어내는 것이라고 주로 생각하죠. 하지만 그것은 ‘좁은 의미의 수학’입니다. 앞에서 살펴본 것과 같이 일반적인 문제를 추상화하여 수학적으로 표현하고, 그 문제를 해결하여 자신의 문제에 적용하는 일련의 과정이 ‘넓은 의미의 수학’이라고 할 수 있습니다.” _ 본문에서

수학의 본능은 계산이 아니라 ‘생각’이다!
공부 좀 하는 사람, 일 좀 하는 사람으로 바꿔줄 7가지 수학적 사고법 대공개

수학이라고 하면 대부분 이해할 수 없는 수식이 복잡하게 나열된 문제를 떠올린다. 하지만 수학은 생각의 기술을 배우는 과목이다. 계산은 수학적으로 생각하는 과정에서 가끔 나타나는 단계일 뿐이다. ‘수학적으로 생각한다’는 말에는 생각을 체계적으로 정리해 질서를 잡는다는 의미와 두뇌를 자극해 자유롭게 상상한다는 의미가 모두 포함된다. 총 7장으로 구성된 이 책에서는 자유로운 상상과 직관으로 질서 있게 새로운 가능성을 발견하는 수학적 사고법 7가지를 각 장마다 하나씩 소개한다. 르네 마그리트의 〈유클리드의 산책〉, 뭉크의 〈절규〉 등 명화를 다루는 ‘창의력 미술관’으로 포문을 열고 우리 인생의 무기가 될 생각의 기술을 알려준다.

ㆍ 비판적 사고: 당연해 보이는 것에 의문을 가져라. 수학적 사고는 다른 사람의 말뿐만 아니라 내 생각이 옳은지 확인하며 오류와 착각을 찾아내는 과정이다.
ㆍ 개념적 사고: 어떤 대상이나 현상에 대해 ‘what’이라는 질문을 던지며 자신만의 정의를 내려라. 수학 문제를 풀려면 핵심 개념부터 알아야 한다.
ㆍ 연결적 사고: 보이지 않는 문제를 눈에 보이는 수식이나 도형으로 치환해서 해결해보자. 수학의 핵심은 일상적인 문제를 수학적 언어로 표현하는 일이다.
ㆍ 전환적 사고: 문제가 해결되지 않을 때는 다르게 접근해보자. 때로는 간접적으로, 혹은 반대편에서 볼 때 유연한 사고가 가능하고 문제가 풀리기도 한다.
ㆍ 패턴적 사고: 문제를 해결하려면 패턴부터 파악하라. 모든 수학에는 패턴이 있고, 패턴을 파악하면 어려운 문제도 풀 수 있다.
ㆍ 차원적 사고: 높은 차원에 올라 전체를 바라보라. 한 단계 위에서 전체를 바라보며 조절하는 ‘메타인지 능력’은 성공하는 사람에게 꼭 필요하다.
ㆍ 모순적 사고: 패러독스를 받아들이고 즐겨라. 수학은 하나의 답이 아닌 합리적인 답을 요구하는 학문으로서, 모순을 수용할 때 새로운 가능성이 열린다.

수학은 우리가 더욱 현명하고 지혜롭게 생각할 수 있게 하는 하나의 언어다. 수학을 경험하고 배울 때 생각의 힘을 키울 수 있다. 요즘처럼 불확실성이 커지고 있는 세상에서는 답이 없는 문제에 가장 현명하게 대응하는 수학적 사고가 무엇보다 필요하다. 세계에서 가장 창의적인 조직인 실리콘밸리와 월스트리트의 기업에서는 논리적인 추론으로 대략적인 해답을 찾아내는 ‘페르미 추정’ 능력을 높이 산다. 단순하게 데이터를 많이 수집하기보다 그 데이터의 의미를 현명하게 찾아내는 일이 중요한 지금, 우리에게 수학적으로 생각하는 기술이 필요한 이유다.

“수학 문제를 해결하려면 항상 새로운 관점이 필요합니다. 열린 생각과 도발적인 도전이야말로 수학의 정신입니다. 생각의 틀에서 벗어나기란 무척 어렵습니다. 그러나 그만큼 값진 결과를 가져온다는 사실을 기억하기 바랍니다.” _ 본문에서

어려운 공식은 NO! 수포자라도 OK!
기초 지식만으로 찾을 수 있는 수학의 놀라운 재미와 쓸모 속으로

“서울에 택시가 몇 대 정도 있을까요?” 입사 면접에서 물어보는 대표적인 질문 중 하나이다. 이때 논리적이면서도 독창적인 대답을 하기 위해서는 수학이 필요하다. 〈수학, 생각의 기술 UP〉에서는 국내 대기업의 입사 면접 단골 질문, 오랜 세월 동안 전해진 수수께끼 등 다양한 논리력 퀴즈 100여 개를 ‘생각 실험’으로 담아냈다. 이 책에서 다루는 수학 문제들은 모두 레크리에이션 수학에 속하므로 아주 기초적인 수학 지식만으로도 누구나 즐길 수 있다. 시대와 국경을 넘은 ‘생각 실험’의 정답을 찾아가는 과정을 보는 것만으로도 수학에 흥미를 붙이는 것은 물론, 수학적 사고력을 쑥쑥 키울 수 있다.
수학을 어떻게 공부하면 좋을까? 수학은 어렵다는 편견과 달리 누구나 충분히 높은 수준까지 공부할 수 있는 학문이다. 이 책은 ‘어려운 문제를 팍팍 풀어내지 못하는 현실에 좌절해서’ 수포자가 많이 탄생하는 것이라고 말한다. 하지만 창조가 모방에서 시작되듯, 이 책에 제시된 문제 풀이를 따라 하다 보면 내용을 이해하고 가끔은 기존 풀이와 다른 방식으로 문제를 해결해낼 수 있다. 수학은 기억해야 할 내용이 많지 않기 때문에 외운다기보다 백지를 채운다는 생각으로 공부해보자. 학생부터 선생님까지, 직장인부터 CEO까지, 어느새 수학 잘 써먹는 사람이 되어 있을 것이다.

“수학을 공부할 때, 평범 한 학생들은 쉬운 문제집을 여러 권 사서 닥치는 대로 풉니다. 풀 수 있는 문제들이 많다는 사실에 안도감을 느끼면서 말이죠. 반면 수학을 잘하는 학생들은 어려운 문제집을 한 권 사서 오랫동안 풉니다. 이미 아는 문제를 많이 맞히며 안도하기보다는 모르는 문제를 틀리는 불편한 시간을 기꺼이 감수합니다.” _ 본문에서

작가정보

저자(글) 박종하

박종하창의력연구소 대표, 창의력 컨설턴트. ‘복잡하고 어려운 것을 쉽게, 뻔한 내용을 흥미롭게’ 전달하는 것이 목표인 창의력 선생님. 고려대학교 수학교육과를 졸업하고 KAIST에서 수학과 석·박사 학위를 받았다. 수학 박사 출신으로 경영이나 자기계발에 관한 글을 쓰고 강의를 하는 독특한 경력을 갖고 있다. 산업교육 강사이며 자기계발서 작가로서 일반 기업체나 공공단체에서 성인들에게 창의성, 문제 해결, 변화, 혁신 등의 주제로 강의를 하고, 관련된 책을 쓰며 사람들과 소통하고 있다. 삼성전자, PSI컨설팅, 이언그룹 등에서 일했으며 현재는 박종하창의력연구소를 운영하고 있다.
저서로 《뜻밖의 수학》《2단계 글쓰기》《생각 실험》《다르게 생각하는 연습》《틀을 깨라》《아프리카에서 온 암소 9마리》 등이 있다. 역서로 《스탠퍼드 수학공부법《생각을 바꾸는 생각》《왜 나는 눈앞의 고릴라를 못 보았을까?》 등이 있으며, 《뇌가 섹시해지는 모스크바 수학퍼즐 세트》 등의 감수를 진행했다