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딥러닝을 위한 수학

신경망 수학 기초부터 역전파와 경사하강법까지
제이펍의 인공지능 시리즈 39
로널드 크노이젤 지음 | 류광 옮김
제이펍

2022년 09월 27일 출간

종이책 : 2022년 08월 08일 출간

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ISBN 9791192469379
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작품소개

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확률, 통계, 선형대수, 미분, 행렬로 역전파, 경사하강법 제대로 정복하기
심층학습의 위력을 제대로 이해하려면 심층학습의 기본이 되는 수학 개념을 확실히 파악해야 한다. 이 책은 심층학습을 이해하는 데 꼭 필요한 확률, 통계, 선형대수, 미분에 관한 실무 지식을 제공하며, 각 수학 분야의 개념에 대해 실행가능한 파이썬 예제 코드로 설명한다.
지은이·감수자·옮긴이 소개 x
옮긴이 머리말 xi
베타리더 후기 xiii
추천사 xv
감사의 글 xviii
이 책에 대하여 xix

CHAPTER 1 실습 환경 설정 1
1.1 도구 모음 설치 2
1.1.1 리눅스 2 / 1.1.2 macOS 3 / 1.1.3 Windows 4
1.2 NumPy 5
1.2.1 배열 정의 6 / 1.2.2 데이터 형식 7 / 1.2.3 2차원 배열 8
1.2.4 0 배열과 1 배열 8 / 1.2.5 고급 색인 접근 9 / 1.2.6 디스크 읽기/쓰기 12
1.3 SciPy 12
1.4 Matplotlib 14
1.5 Scikit-Learn 16
1.6 요약 18

CHAPTER 2 확률 1부 19
2.1 기본 개념들 20
2.1.1 표본 공간과 사건 20 / 2.1.2 확률 변수 21 / 2.1.3 인간은 확률에 약하다 22
2.2 확률의 법칙들 24
2.2.1 단일 사건의 확률 24 / 2.2.2 합의 법칙 27 / 2.2.3 곱의 법칙 28
2.2.4 합의 법칙 보충 29 / 2.2.5 생일 역설 30 / 2.2.6 조건부 확률 34
2.2.7 전체 확률 35
2.3 결합 확률과 주변 확률 36
2.3.1 결합 확률표 37 / 2.3.2 확률의 연쇄법칙 42
2.4 요약 45
CHAPTER 3 확률 2부 47
3.1 확률 분포 47
3.1.1 히스토그램과 확률 48 / 3.1.2 이산 확률 분포 52 / 3.1.3 연속 확률 분포 58
3.1.4 중심 극한 정리 62 / 3.1.5 큰 수의 법칙 64
3.2 베이즈 정리 66
3.2.1 다시 살펴보는 암 진단 예제 67 / 3.2.2 사전 확률의 갱신 68
3.2.3 기계학습의 베이즈 정리 70
3.3 요약 73

CHAPTER 4 통계 75
4.1 데이터의 종류 76
4.1.1 명목형 자료 76 / 4.1.2 순서형 자료 76 / 4.1.3 구간 자료 76
4.1.4 비율 자료 77 / 4.1.5 명목형 자료와 심층학습 78
4.2 요약 통계량 78
4.2.1 평균과 중앙값 79 / 4.2.2 변동의 측도 83
4.3 분위수와 상자 그림 87
4.4 결측 자료 92
4.5 상관관계 96
4.5.1 피어슨 상관계수 96 / 4.5.2 스피어먼 상관계수 100
4.6 가설 검정 103
4.6.1 가설 104 / 4.6.2 t-검정 105 / 4.6.3 맨-휘트니 U 검정 111
4.7 요약 113

CHAPTER 5 선형대수 1부 115
5.1 스칼라, 벡터, 행렬, 텐서 116
5.1.1 스칼라 116 / 5.1.2 벡터 116 / 5.1.3 행렬 118 / 5.1.4 텐서 119
5.2 텐서 산술 연산 122
5.2.1 배열 연산 122 / 5.2.2 벡터 연산 124
5.2.3 행렬 곱셈 134 / 5.2.4 크로네커 곱 140
5.3 요약 141

CHAPTER 6 선형대수 2부 143
6.1 정방행렬 144
6.1.1 왜 정방행렬인가? 144 / 6.1.2 전치, 대각합, 거듭제곱 146
6.1.3 특별한 정방행렬들 148 / 6.1.4 단위행렬 149 / 6.1.5 행렬식 151
6.1.6 역행렬 155 / 6.1.7 대칭행렬, 직교행렬, 유니터리 행렬 157
6.1.8 대칭행렬의 정부호성 158
6.2 고윳값과 고유벡터 159
6.2.1 고윳값과 고유벡터 구하기 160
6.3 벡터 노름과 거리 함수 164
6.3.1 L-노름과 거리 함수 164 / 6.3.2 공분산 행렬 166
6.3.3 마할라노비스 거리 169 / 6.3.4 쿨백-라이블러 발산값 172
6.4 주성분 분석 174
6.5 특잇값 분해와 유사 역행렬 178
6.5.1 특잇값 분해 예제 179 / 6.5.2 두 가지 용도 181
6.6 요약 183

CHAPTER 7 미분 185
7.1 기울기(슬로프) 186
7.2 도함수 188
7.2.1 도함수의 공식적인 정의 188 / 7.2.2 기본 미분법 190
7.2.3 삼각함수 미분법 195 / 7.2.4 지수함수와 로그함수의 미분법 198
7.3 함수의 극솟값과 극댓값 201
7.4 편미분 205
7.4.1 혼합 편미분 207 / 7.4.2 편미분 연쇄법칙 208
7.5 기울기(그래디언트) 210
7.5.1 기울기 계산 210 / 7.5.2 기울기의 시각화 213
7.6 요약 216

CHAPTER 8 행렬 미분 217
8.1 공식들 218
8.1.1 스칼라 인수 벡터 함수 219 / 8.1.2 벡터 인수 스칼라 함수 221
8.1.3 벡터 인수 벡터 함수 221 / 8.1.4 스칼라 인수 행렬 함수 222
8.1.5 행렬 인수 스칼라 함수 223
8.2 항등식 224
8.2.1 벡터 인수 스칼라 함수 관련 항등식 224
8.2.2 스칼라 인수 벡터 함수 관련 항등식 226
8.2.3 벡터 인수 벡터 함수 관련 항등식 227
8.2.4 행렬 인수 스칼라 함수 관련 항등식 228
8.3 야코비 행렬과 헤세 행렬 230
8.3.1 야코비 행렬 231 / 8.3.2 헤세 행렬 238
8.4 행렬 미분 예제 몇 가지 245
8.4.1 성분별 연산의 도함수 245 / 8.4.2 활성화 함수의 도함수 246
8.5 요약 248

CHAPTER 9 신경망의 데이터 흐름 249
9.1 데이터 표현 250
9.1.1 전통적인 신경망 250 / 9.1.2 심층 합성곱 신경망 251
9.2 전통적인 신경망의 데이터 흐름 254
9.3 합성곱 신경망의 데이터 흐름 259
9.3.1 합성곱 259 / 9.3.2 합성곱 층 265 / 9.3.3 풀링 층 268
9.3.4 완전 연결층 269 / 9.3.5 합성곱 신경망의 데이터 흐름 269
9.4 요약 272

CHAPTER 10 역전파 275
10.1 역전파란 무엇인가? 276
10.2 직접 계산해 보는 역전파 277
10.2.1 편미분 유도 279 / 10.2.2 파이썬 구현 281
10.2.3 신경망 모형의 훈련과 시험 286
10.3 완전 연결 신경망의 역전파 288
10.3.1 오차의 역전파 288 / 10.3.2 가중치와 치우침 값의 편미분 계산 292
10.3.3 파이썬 구현 294 / 10.3.4 구현 적용 299
10.4 계산 그래프 302
10.5 요약 305

CHAPTER 11 경사하강법 307
11.1 기본 개념 308
11.1.1 1차원 경사하강법 308 / 11.1.2 2차원 경사하강법 312
11.2 확률적 경사하강법 318
11.3 운동량 321
11.3.1 운동량이란? 321 / 11.3.2 운동량을 도입한 1차원 경사하강법 323
11.3.3 운동량을 도입한 2차원 경사하강법 325
11.3.4 운동량을 이용한 신경망 학습 326 / 11.3.5 네스테로프 운동량 333
11.4 적응적 경사하강법 336
11.4.1 RMSprop 336 / 11.4.2 AdaGrad와 ADADELTA 337
11.4.3 Adam 338 / 11.4.4 최적화 기법에 관한 몇 가지 생각 340
11.5 요약 341
11.6 맺음말 342

부록: 더 나아가기 343
확률과 통계 343
선형대수 344
미적분 345
심층학습 345

찾아보기 348

이것이 확률에 대한 베이즈식 접근 방식 또는 ‘베이즈 확률론’의 핵심인 베이즈 정리(Bayes’ theorem)이자, 두 조건부 확률 P(B|A)와 P(A|B)를 제대로 비교하는 방법이다. 식 3.1을 베이즈 법칙(Bayes’ rule)이라고 부르는 경우도 많다. 또한, 영어의 경우 어포스트로피를 생략해서 ‘Bayes theorem’이라고 표기하기도 한다. 다소 엉성하고 문법에도 맞지 않지만, 이런 표기를 흔히 볼 수 있다.
식 3.1을 신성시해서 네온등이나 문신에 사용하기도 하고, 심지어 아기 이름을 ‘베이즈’로 붙이는 부모도 있다. 이 정리는 영국 총리이자 통계학자였던 토머스 베이즈Thomas Bayes(1701-1761)의 이름을 딴 것이다. _66쪽

선형대수학은 일차방정식(linear equation), 즉 변수의 가장 높은 차수가 1인 방정식에 관한 것이다. 그러나 이 책의 목적에서 선형대수(linear algebra)는 벡터나 행렬 같은 다차원 수학객체들과 그런 객체들에 대한 연산을 포괄하는 용어이다. 일반적으로 심층학습에 적용되는 선형대수가 바로 그런 형태이다.
심층학습 알고리즘을 구현하는 프로그램은 데이터를 벡터나 행렬 같은 객체들로 취급해서 선형대수를 적용한다. 글자 그대로의 선형대수가 아니라 실제 응용의 관점에서 본 선형대수를 다루다 보면 멋진 수학 개념을 상당히 많이 생략하게 되지만, 이 책의 목표는 수학 자체가 아니라 심층학습에 적용되는 수학을 이해하는 것이므로, 이렇게 해도 큰 죄는 아닐 것이다. _115쪽

정방행렬의 행렬식을 구하는 방법은 여러 가지인데, 여기서는 점화식을 이용한 방법 하나만 설명한다. 모든 점화식(recursive formula)은 자기 자신이 식에 포함된 수학 공식으로, 코드로 치면 자기 자신을 호출하는 재귀 함수에 해당한다. 점화식과 재귀 함수에 깔린 개념은, 주어진 문제를 더 단순한 버전들로 분해하고 그 결과들을 결합함으로써 더 큰 원래 문제의 해답을 얻는다는 것이다. _152쪽

2022년 현재, 역전파(backpropagation)는 심층학습을 지탱하는 사실상 표준의 알고리즘이다. 역전파가 없으면 심층 신경망의 훈련이 아예 불가능하거나, 가능하더라도 훈련에 걸리는 시간이 비현실적으로 길어진다. 따라서 심층학습 실무자는 역전파가 무엇이고 훈련 과정에서 어떻게 쓰이는지 알아야 하며, 그러려면 적어도 간단한 신경망에 대해 역전파를 직접 구현해 보는 것이 좋다. 이번 장에서는 독자가 역전파에 관한 사전 지식이 전혀 없다고 가정한다.
이번 장은 먼저 역전파가 무엇인지, 그리고 무엇이 “아닌지” 설명한다. 그런 다음에는 아주 간단한 신경망의 역전파와 관련한 수학을 소개한다. 그 후에는 완전 연결 순방향 신경망의 구축에 적합한 역전파를 행렬 형태로 서술하는 방법을 논의한다. 수학 공식들과 함께 NumPy 기반 구현 코드도 제시할 것이다. _275쪽

이 책은 수학책이지만, 경사하강법은 수학 중에서도 응용수학과 관련이 깊다. 그래서 이번 장은 예제와 실험을 통해서 경사하강법을 설명한다. 수식들은 그리 복잡하지 않으며, 이전 장들에 나온 수학을 바탕으로 한다. 그런 만큼, 이번 장을 지금까지 배운 것들을 응용할 기회로 생각하면 좋겠다. _307쪽

이 책에서 다루는 검증 가능한 예제들은 순수 수학과 심층학습 응용의 틈새를 메우는 역할을 한다. 벡터와 행렬, 확률 분포 등의 근본적인 주제를 설명한 뒤에 행렬 미분과 같은 좀 더 심화한 개념으로 나아가며, 마지막에는 모든 논의를 통합해서 심층학습의 필수 알고리즘인 역전파와 경사하강법을 다룬다.

■ 확률 법칙들과 확률분포, 베이즈 확률
■ 통계를 이용해서 데이터 집합을 파악하고 모형을 평가하는 방법
■ 벡터와 행렬을 다루는 방법과 데이터가 벡터와 행렬의 형태로 신경망을 통과하는 과정
■ 선형대수를 이용한 주성분 분석(PCA)과 특잇값 분해(SVD) 구현
■ 역전파, 경사하강법, 여러 최적화 기법(SGD, Adam, RMSprop, Adagrad/Adadelta)

작가정보

Ronald T. Kneusel
2003년부터 업계에서 심층학습 개발자로 일해오면서, 2016년 콜로라도 대학교 볼더 캠퍼스에서 기계학습 전공 박사학위를 받았다. 이 책 외에 세 권의 책 《Practical Deep Learning: A Python-Based Introduction》(No Starch Press), 《Numbers and Computers》(Springer), 《Random Numbers and Computers》(Springer)를 썼다.

번역 류광

《컴퓨터 프로그래밍의 예술》 시리즈와 《UNIX 고급 프로그래밍》 제2판·제3판, 《Game Programming Gems》 시리즈를 비롯해 80여 종의 다양한 IT 전문서를 옮긴 전문 번역가이다. 수학 관련 번역서로는 《구체 수학》, 《3D 게임 프로그래밍 & 컴퓨터 그래픽을 위한 수학》 제1판·제2판 등이 있고, 심층학습 관련 번역서로는 《인공지능: 현대적 접근방식》 제4판, 《심층
학습》, 《신경망과 심층 학습》 등이 있다.

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