작은 수학자의 생각실험

외우지 않고 이해하는 미분, 적분의 기본 원리

고의관 지음

궁리 2020년 05월 28일 출간 국내도서 : 2015년 01월 05일 출간

작품소개

책소개

[작은 수학자의 생각실험]은 ‘달과 지구의 충돌시간’을 구하는 다소 황당하지만 흥미로운 문제를 해결하는 과정에서 미분과 적분, 삼각함수의 개념을 자연스럽게 터득하는 내용을 담고 있다. 하나의 수학 공식은 어떤 과정을 거쳐 도출되는가? 미분, 적분, 삼각함수는 무엇을 위한 수학도구로 탄생하였을까? 이 책은 델타라는 주인공이 미분, 적분 같은 수학개념을 이해하기까지, 수학적 증명을 도출해내기까지, 머릿속에서 벌어지는 생각의 작용을 그대로 따라 엿보는 구성을 취하고 있다. '자기주도학습'으로 수학실력을 향상시키고 싶은 학생이나, 물리학과 수학 개념을 동시에 익히고 싶은 이들, 사고력의 학문이라고 하는 수학의 매력을 제대로 맛보고 싶은 사람들에게 유용한 가이드 역할을 할 것이다.

목차

| 여는 글 | 수학과 잘 사귀고 싶다면, 생각의 근육을 키워라

1장. 하늘에서 수학문제가 하나 떨어졌다!
1 한 통의 전화
2 강연장에서
3 황당한 문제
-지수법칙

2장. 수학문제, 뉴턴의 물리학을 만나다
1 어떤 정보가 필요하지?
-속도의 정의
2 위대한 뉴턴의 유추
-만유인력
3 ‘힘’이 무엇일까?
-평균가속도
4 실험을 통한 중력가속도의 측정
-달의 운동방정식
5 충돌시간 계산 끝!?
-등가속도운동

| 쉬어가기 코너 | 공기저항이 없으면 비를 맞아 죽을 수도 있어!
| 연습문제 |

3장. 자동차 속도측정기에 숨어 있는 미분의 원리
1 무엇이 잘못되었지?
2 전략을 세우다
-함수의 의미
3 자동차 속도 측정의 원리
4 생각의 도식화
-미분계수
5 알쏭달쏭 무한소
-미분의 정의
6 순간속도 구하는 방법
-도함수의 의미
7 다항함수의 도함수

| 쉬어가기 코너 | 말도 안 돼!
| 연습문제 |

4장. 그림으로 이해하는 삼각함수의 원리
1 축척의 원리
-삼각비의 정의
2 정다각형을 이용해서
-sin, cos, tan의 정의
3 라디안의 정의
4 단위원
-원주율과 부채꼴
5 그래프만으로 도함수 구하기
-극댓값과 극솟값
6 대단한 통찰
-샌드위치정리
7 삼각함수의 덧셈정리
-삼각함수 덧셈정리의 증명

| 쉬어가기 코너 | 음악이 연주하는 수학 이야기
| 연습문제 |

5장. 미분이 보이는 적분의 원리
1 전략에 따라서
2 막강한 분할의 힘
-구분구적법
3 미분과 적분의 관계
-미적분학의 기본정리
4 정적분으로 넓이 구하기
-적분을 이용한 넓이계산
5 한계에 부딪힌 델타

| 쉬어가기 코너 | 누구나 알고 있는 수학공식
| 연습문제 |

6장. 델타의 생각실험, 마침표를 찍다!?
1 드디어 박사님과 만나다
2 배고픈 원숭이의 통찰
3 부분적분
-미분의 기본공식
4 치환적분
-치환을 이용한 적분
5 중요한 힌트
6 내공을 쌓다
7 충돌시간의 계산

| 후기 | 가정의 타당성
| 연습문제 |

| 닫는 글 | 나만의 정답을 써내려가는 생각실험
| 연습문제 정답과 풀이 |
| 찾아보기 |

출판사 서평

岵막?물리학에 뿌리를 두고 있는 미적분은 물리학과 수학의 통합적인 사고 없이는 깊이 이해하는 것도, 응용하는 것도 쉽지 않다. 이 책을 쓴 고의관은 서울대학교와 고려대학교 대학원에서 물리학을 전공한 뒤 현재 미래창조과학부 산하 한국기초과학지원연구원 서울센터에서 책임연구원으로 일하고 있다. 그는 물리학의 연구경력과 수학에 기울인 오랜 관심을 토대로 물리법칙과 수학적 이해가 동시에 필요한 미적분학이 어떠한 원리로 이루어졌는지 밀도 있게 구성해냈다.

이 책을 이끄는 중심 질문인 "달과 지구의 충돌시간" 문제는 물리학의 운동역학과 미분, 적분의 개념이 고스란히 담겨 있는 문제다. 책은 델타가 이 문제를 풀기 위해 필요한 물리법칙과 미분, 적분, 삼각함수의 원리를 스스로 찾아서 깨우쳐가는 내용으로 이루어졌다. 이를테면, 달이 낙하하는 현상에서 속도와 가속도 개념을 알아내고, 순간적으로 변하는 속도를 구하려다가 자연스럽게 미분 개념을 도입하고, 그렇게 해서 얻어진 속도의 정보로부터 움직인 거리를 구하면서 적분 개념을 이해하는 식이다.

속도, 가속도, 중력, 낙하운동 같은 고전물리학의 운동법칙에서 미분, 적분, 삼각함수 같은 수학 개념까지, 델타의 생각실험에 동행하다 보면, 독자들은 물리법칙과 수학개념이 한꺼번에 정리되는 흥미로운 경험을 하게 될 것이다.

이 책은 끝없이 이어지는 수학적 사유의 향연 속으로 우리를 이끈다. 가르쳐준 내용만 습득하려 할 뿐, 스스로 알아내고 이해하고자 하는 탐구심이 부족한 이들이라면, 텔타의 생각 속으로 들어가 수학의 자유로움을 만끽해보자. 그곳에 사고력과 자유의 학문인 수학의 본질이 여러분을 기다리고 있을 것이다.

"수학에서 미분, 적분은 골치 아프기로 유명한 분야입니다. 책을 써내려가면서 저는 고민이 하나 있었습니다. 미분, 적분을 고등학생이 아니라, 중학생, 나아가서는 초등학생도 이해하기 쉽게 하려면 어떻게 해야 할까?
뱃속의 아기가 단계적으로 성장하듯 생각도 진화합니다. 미분과 적분 역시 무無에서 갑자기 튀어나온 것이 아니라, 단순한 사실에서 개념이 잉태되어 분화와 성장을 거쳐 탄생한 것입니다. 그래서 사칙연산 정도만 가능한 상태에서 미적분의 개념에 도달하는 과정을 생각이 진화하는 방식으로 그려나간 것이 이 책입니다.
독자 여러분이 암기에서 벗어나 스스로 깊이 사고하고 문제를

작가정보

저자(글) 고의관

저자 : 고의관
저자 고의관은 서울대학교 물리학과에서 이학석사, 고려대학교에서 이학박사 학위를 받았다. 현재 미래창조과학부 산하 한국기초과학지원연구원 서울센터에서 책임연구원으로 일하고 있다. 물리학을 전공했지만, 수학의 매력에 빠져 미분, 적분, 수열, 조합, 방정식 등 분야별로 여러 권의 수학노트를 만들어온 지도 여러 해가 됐다. 물리 법칙을 뿌리 삼아 탄생한 미적분을 물리학과 수학의 눈으로 통합적으로 설명한 『작은 수학자의 생각실험』(궁리, 2015)을 펴냈다.