수학의 숨은 원리

수학, 언제까지 암기할 것인가?

김권현 , 곽문영 , 이창석 지음

숨은원리 2017년 09월 27일 출간 종이책 : 2017년 06월 14일 출간

작품소개

책소개

『수학의 숨은 원리』는 수학 속의 같은 내용도 다른 방식으로 제시하여, 수학의 본질에 대해 다시 한번 생각하게 도와준다. 기존의 책과 다르게 이 책은 우리가 중고등학교때 이미 경험한 수학 문제에 숨겨있는 논리적 사고를 보여주고, 그것을 통해 수학의 논리성을 이해할 수 있게 한다. 이 책을 통해 무작정 공식을 암기하는 것이 아니라 수학의 원리를 이해하면 수학과 가까워질 수 있는 계기가 될 것이다.

목차

들어가기. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

기하
직사각형의넓이. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
직사각형의넓이와“덧셈에대한곱셈의분배법칙” . . . . . . . . . . . . . 9
직각삼각형의넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
다양한모양의삼각형의넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
피타고라스의정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
좌표평면위삼각형의넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

수와연산
수표기하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
더큰수표기하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
제곱해서2가되는양수는어떻게표기할것인가? . . . . . . . . . . . . . . 27
분수와소수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
많은수을지칭하기:조건 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
도대체√2는무엇인가?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
대범한시도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
귀류법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
허수i의출현 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
(?1) × (?1)은왜1인가? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1을0으로나누면? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
제곱근을포함한두수의대소비교1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
제곱근을포함한두수의대소비교2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
제곱근을포함한두수의대소비교3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
분모의유리화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
대수 77
변수를활용하기. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
변수를포함한식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
자연수의덧셈(결합법칙과교환법칙). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
항등식을증명하기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

대수:방정식
방정식:들어가기 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
양변에공통적인요소를확인한다 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
조금복잡한예 . . . . . . .

책 속으로

많은 수을 지칭하기 : 조건

우리가 이상형을 말할 때

친구들과 이런 얘기를 자주 한다.

“넌 이상형이 누구야?” 혹은 “넌 이상형이 뭐야?”

우리가 이상형을 얘기할 때, 실존하는 인물을 예로 들어 얘기하거나(“나는 아무개가 좋아”), 이상형이 갖추어야 할 조건(“나는 키 작고 통통한 애가 좋아.”)을 얘기하기도 한다.

그런데 그런 기준이 어떻게 생겼을까? 아마도 이제껏 만났던 사람들의 공통 분모를 찾아낸 게 아닐까?

‘나는 소라, 민정, 미희를 좋아하니까 활발한 성격을 좋아하나봐.’

아니면 상상 속의 인물에서 가져온 것일 수도 있겠다. 예를 들면, 백마 탄 왕자? 신데렐라?

그런데 여기서 ‘내 이상형은 아무개야’라고 말하는 것보다 ‘내 이상형은 예쁘고 착한 여자야.’라고 말하면 장점이 있다. 예쁘고 착한 여자는 무수히 많다. 반면에 아무개는 한 명이다.

보통 이상형에 부합하는 사람은 은근히 많다. 좋아하는 사람을 열거해보자. 하지만 지구에는 70억여 명이 살고 있다. 내가 모르는 사람 중에도 이상형에 부합하는 사람이 있을 것이다. 따라서 그 사람들을 모두 열거하는 것은 불가능하다.

반면에 이상형의 조건 혹은 특징을 얘기한다면 간단하게 정리할 수 있다. 예를 들어 “활발한 성격의 사람”, “예쁘고 착한 사람” 등이 가능하다. “예쁘고 착한 사람”은 내가 만나 본 사람 뿐 아니라 내가 만난 보지 못한 사람들까지 포함된다.

조건 활용하기

왜 뜬금없이 조건을 활용하여 대상을 지칭하는 방법에 대해 얘기를 하는가? 사실 조건을 활용하는 방법에 특별히 어려운 점은 없다. 하지만 수학에서 맥락도 없이 등장하거나, 기호 속에 묻혀 있다면 당황할 수도 있다.

예를 들어, 집합을 처음 배울 때 이런 내용을 배운다.

“집합 와 집합 가 같다”는 “집합 가 집합 에 속하고, 집합 가 집합 에 속한다”는 의미이다.

근데 이게 도대체 무슨 소리야? 그리고 왜 그래야 하는 거지?

“집합 와 가 같다.”는 것을 어떻게 확인하는가?(혹은 증명하는가?) 집합은 원소에 의해 결정된다.

집합 와 집합 는 서로 다른 방식으로 정의되었지만, 동일한 원소를 가지고 있으므로 동일한 집합이다.

원소나열법으로 집합 와 집합 를 나타내면 이 두 집합이 동일함을 확인할 수 있다.

이렇게 두 집합이 동일함을 보이려면 두 집합을 원소나열법으로 표시하면 된다. (식은 죽 먹기다.)

원소나열법의 첫 번째 문제: 원소의 개수가 무한히 많을 때

집합의 원소가 많다면, 두 집합이 같다는 것을 확인하는데 시간이 오래 걸리지만 불가능한 것은 아니다. 충분한 시간이 주어진다면 말이다.

하지만 원소의 개수가 무한히 많을 때는 어떠한가? (하략)

출판사 서평

수학에게 묻다.
“왜 그렇게 할까? 왜 그렇게 하면 문제가 풀릴까?”

수학의 많은 부분은 “문제를 푸는 방법”을 배우는 것이다.
하지만 그 누구도 왜 그렇게 푸는지, 왜 그렇게 하면 풀리는지 알려주지 않았다.
그 누구도 답해주지 않았던 수학에 대한 근본적인 물음에 대답한다!

서평

수학의 기초를 다지기 위해 꼭 읽어야 할 책이다.
-유성현(의사)-

시중의 수학책을 살펴보면 내용은 거의 대동소이하다. 이 책은 다르다. 같은
내용도 다른 방식으로 제시하여, 수학의 본질에 대해 다시 한번 생각하게
도와준다. 이것만으로도 이 책은 존재의 의미가 있다.
-최창만(전 한국전력공사 전무)-

문제를 풀기 위해 어떻게 생각을 해야 하는지 알려 주는 책이다. 이 책에서
소개하는 방법으로 수학적 사고를 해나가면 수리논술이나 수학능력시험의
어려운 문제도 거뜬히 해결할 수 있을 것이다.
-최승인(종로학원 서울역 본원 수학 강사)-

4차 산업혁명시대에 요구되는 창조적인 인재가 되려면 익숙함에서 벗어
나려는 관점의 변화가 필요하다. 이 책은 우리에게 익숙한 수학적, 논리적
문제들에 ’왜?’라는 질문을 새롭게 던지면서 그와 같은 시도를 하고 있다.
각 장마다 펼쳐져 있는 저자의 설명을 따라 가다 보면, 어느샌가 독자들이
갖는 사고의 폭도 더욱 넓어질 것이다. 학교에서 익숙하게 배웠던 문제들이
쉽고 재밌게 되는 것은 덤으로 얻는 즐거움이다. 일독을 권한다.
-유세진(삼성전자)-

이 책은 수학을 배우는 주목적인 논리적 사고에 대해 이야기하는 반가운
책이다. 이미 많은 책들이 같은 목적으로 쓰여졌지만, 다른 책들은 천재들의
독창적인 사고나 오랫동안 풀리지 않고 있는 난제 등을 예시로 삼고 있어
직접적인 공감을 이끌어 내기 힘들었다. 기존의 책과 다르게 이 책은 우리가
중고등학교때 이미 경험한 수학 문제에 숨겨있는 논리적 사고를 보여주고,
그것을 통해 수학의 논리성을 이해할 수 있게 한다. 이 책은 입시를 위해
수학을 공부하는 수험생에게는 수학 공부의 목적을, 일반 교양을 위해 이
책을 읽는 독자에게는 논리적 사고가 무엇인지를 알려주는 고마운 책이다.
-김기하(연세대학교 계산과학공학 박사 과정)-

무작정 공식을 암기하는 것이 아니라 수학의 원리를 이해하면 수학과 친해
질 수 있습니다. 이 책과 함께 수학의 매력에 빠져보세요.
-차기훈(고려대학교 수학과, 2013 수능 수학 100점)-

작가정보

저자(글) 김권현

저자 김권현은 서울에서 태어나 줄곧 서울에서 학교를 다녔다.

”수학의 놀라움은 쉽게 알 수 없는 사실을 논리적으로 밝혀낸다 것이었다. 그 논리를 따라가면 어쩔 수 없다. (평면 위의) 모든 삼각형의 내각의 합은 180도이고, 모든 삼각형은 피타고라스의 정리를 따른다.“

하지만 학교 수업에 불만이 많았다.

‘컴퓨터가 인수분해, 미분, 적분을 척척 해내는 21세기에 우리가 배워야 할 것은 수학적 지식이 아니라 수학적 사고 능력이 아닌가?’

그래서 시대의 요구에 부합하는 수학책의 집필을 시작한다. 그리고 10여 년이 흘렀다. 출판사의 요구로 일반인들이 어려워할 만한 부분은 과감하게 삭제 한다. ”수학의 숨은 원리, 제 2권“을 계획하고 있다.

서강대학교 대학원 강사
서울대학교 인지과학 박사
서울대학교 자연과학부 물리학 전공

저자(글) 곽문영

저자(글) 이창석