다시, 수학이 필요한 순간

질문은 어떻게 세상을 움직이는가

김민형 지음

인플루엔셜 2020년 08월 18일 출간 종이책 : 2020년 08월 12일 출간

작품소개

책소개

“지금 이 순간에도 인간의 사고는 수학으로 진화하고 있습니다.”
AI·빅데이터 시대를 돌파하는 수학적 사고의 힘!
자연과 세계, 사고의 본질을 탐구하는 한여름 밤의 위대한 수학 프로젝트!

실수나 등식이 없던 그리스 시대의 사람들과, 전염병의 감염 추이 그래프를 누구나 쉽게 이해하는 지금 우리의 사고법에는 어떤 차이가 있을까? 급변하는 21세기, 수학의 질문은 어떻게 세상을 거듭 진화시키고 있는가? 2018년 《수학이 필요한 순간》을 통해 단숨에 베스트셀러에 올라 바야흐로 ‘수학 교양서 시대’를 연 한국인 최초의 옥스퍼드대 수학과 교수, 김민형 교수가 2020년 8월 『다시, 수학이 필요한 순간』로 독자들을 다시 찾아왔다.

이 책은 수학의 거장이 중학생부터 현직 수학교사, IT개발자, 미술작가 등 세대와 성별을 뛰어넘는 다양한 독자 7인과 교감하며 나눈 아홉 번의 세미나를 생생하게 옮긴 것이다. 일상적 대화로 시작하여 깊은 이해로 다가가는 튜토리얼 형식의 세미나를 통해, 그는 오래도록 세상을 견인해온 광대한 수학적 문명의 세계로 독자를 인도하고 있다. 수의 기본 개념부터 AI 시대의 근간을 이루는 현대수학 이론까지, 앞으로의 상식이 될 수학의 언어에 정면 도전하는 위대한 수업이 펼쳐진다. 이 책을 통해 자연과 우주, 그리고 인간의 생각이 작동하는 방식까지, 우리를 둘러싼 모든 순간에 수학이 존재하고 있음을 깨닫게 될 것이다.

목차

이 책을 펴내며
서문
세미나를 시작하며 : 수학이란 무엇인가
간단한 수학 활동으로 시작해봅시다 | 모양을 계산하기│수학에 증명이 꼭 필요할까?│수학일까, 물리학일까

1부 | 수학의 토대
제1강 수 체계에 찾아온 위기
수의 발견은 인간의 사고를 어떻게 바꿔놓았을까요? 키, 지능, 주소, 위도 경도, 기온과 습도…… 시간과 공간, 그리고 우리의 정체성을 표현하는 모든 것이 수입니다. 이처럼 지금 우리에게 기하학보다 수를 이용한 수학이 더 익숙한 것을 보면, 우리의 사고는 점점 컴퓨터화되고 있는 것 아닐까요?
수학의 전통을 만든 어느 수학자들│피타고라스와 수의 발견│수의 위기│적분의 기원│현대판 제논의 역설│다시 기하로

제2강 본질을 향한 길고 긴 생각
‘X는 무엇이다’처럼 정의를 내리는 일은 항상 어렵습니다. 불확실한 세계에 수학만큼은 확실하기를 바랐던 19세기의 수학자들은 수학의 모든 개체를 하나하나 정의함으로써, 무너뜨릴 수 없는 토대를 세우려고 했습니다.
수학은 명료한 사고다?│수에 관한 극단적인 원론│확실한 것에 대한 집착

제3강 답을 찾는 기계 만들기
문명의 발전은 아무 생각 없이 자동으로 할 수 있는 작업의 수를 늘려 가면서 일어난다는 말이 있습니다. 기계적으로 계산하는 능력은 수학에서 굉장히 중요합니다. 그렇다면 세상 모든 방정식의 답을 기계적으로 찾는 알고리즘도 만들 수 있을까요?
기계적으로 계산하는 능력│세상을 뒤흔든 수학의 난제│모든 계산이 가능한 알고리즘│그런 알고리즘은 없다│질문을 찾기 위한 질문

제4강 논리적 사고와 수학적 사고
“이 문장이 참이면 김민형은 억만장자다.” 이 문장은 참입니까 거짓입니까? 맞고 틀리다는 판단은 무엇에 근거하며, 논리적으로 올바른 사고란 무엇일까요? 명제의 참·거짓을 모르는 상태에서도 정확한 추론을 하는 실력은 수학적 사고에 있어 매우 중요합니다.
대화로 하는 수학│이 문장이 참이면 김민형은 억만장자다│논리란 무엇인가│이상한 나라의 대화법

제5강 세상을 이루는 함수들
함수에 관한 기초 개념 몇 개를 복습해봅니다. 수학은 자연 현상을 설명하기 위한 체계적 언어와 개념적 도구가 축적된 수천 년의 산물입니다. 그러한 언어를 효율적으로 사용할 때 우리는 수학적 사고에 한 발 가까워질 수 있습니다.
함수란 무엇인가│좌표란 무엇인가│사인과 코사인 정복하기


2부 | 수학의 모험
제6강 수 없이 계산하기
수가 없이도 A와 B의 합을 구할 수 있을까요? 고대 그리스의 수학자들은 수 대신 기하학과 비율을 이용해 연산을 했습니다. 만약 그들이 기하로 구축한 수 체계를 완성했다면 훨씬 더 일찍 수학이 발전했을지도 모릅니다.
고대 그리스식으로 계산한다면│평면에서 계산하기│증명, 그리고 더 좋은 증명│서로 다른 관점에 대한 수학 이론│관점들 사이의 관계

제7강 차원이 다른 정보들
무한해 보이는 정보 사이에 상관관계를 가능한 한 많이 발견하면, 정보의 ‘차원’을 효율적으로 줄일 수 있습니다. 빅데이터와 AI가 주도하는 정보과학 시대에는 눈에 보이는 정보의 기저에 있는 ‘다차원’을 이해하는 것이 매우 중요한 감각이 될 것입니다.
추상적인 공간을 상상하기│정보의 차원│무한 차원!│소리의 ‘정보’│근본 주파수와 기본 입자

제8강 우주의 모양을 찾는 방정식
아인슈타인의 방정식은 우주의 깊은 현상을 파악하는 데 중요한 지표를 제시함으로써 과학의 조류를 뒤바꿨습니다.‘ 시간이 상대적이다’,‘ 시공간이 휘어져 있다’와 같은 말은 구체적인 수학을 모르더라도 당대 예술가들의 심금을 울리기에 충분했습니다.
로저 펜로즈의 거시적인 마음│우주의 모양│음악과 수학, 그리고 현대주의│선형함수│시간의 선형성│법칙과 방정식

제9강 수학으로 세상을 본다는 것
‘본다는 것’은 모양과 실체를 파악한다는 의미입니다. 그리고 이는 곧 빛이나 초음파, 그리고 중력 등과의 상호 작용을 발견하는 일입니다. 수학적 문명 역시 세상의 실체를 보기 위해 기하 뒤의 대수, 그 뒤의 기하, 그 뒤의 대수를 끊임없이 발견하는 여정일 것입니다.
다시 공리로│우주의 모양을 볼 수 있는가│인간의 뇌에서 벌어지는 일│세상을 ‘본다’는 것│기하 뒤에 대수 뒤에 기하 뒤에 대수…

세미나를 마치며
특강 : 실수의 파운데이션
세미나에 함께한 사람들
추천사

출판사 서평

슈타인조차도 수학이 어려워서 자신의 연구에 수학자들의 자문을 구해야 했을 정도다. 과학기술의 가치가 높아지면서 과학 커뮤니케이션이 중요한 화두로 떠오르고 있지만, 그 변화의 중심에 수학은 늘 빠져 있다. 난해한 수학 언어와 어려운 수학을 회피하려는 교육의 문제도 간과할 수 없다. 그러나 세상의 변화의 중심에 있는 보이지 않는 손, 수학을 모르고는 세상의 변화에 휩쓸린다는 두려움만 커질 뿐이다. 그간 다양한 대중 강연과 수학 교육에 관한 다양한 멘토링 활동을 이어온 김민형 교수는 이러한 한계를 극복하기 위한 수학 대중화 모델의 필요성을 절감하고 있다. 그러한 문제의식에서 시작한 이 책은 세상을 탐구하는 보편 언어로서 수학을 강조하며, 일상의 논리적인 대화에서부터 수학과 물리학, 인문학과 예술 분야를 대담하게 넘나든다.
되도록 수식을 배제하여 흥미로운 주제를 중심으로 접근한 전작 《수학이 필요한 순간》과 달리, 이번 책에서는 피타고라스의 정리와 같은 기본적인 공식에서부터 벡터, 기하, 삼각함수, 통계 등 ‘수포자’들을 벽에 부딪치게 만들었던 개념들에 정면으로 도전한다. 2부 수학의 모험에서 소개하고 있는 벡터는 AI의 학습을 표현하는 도구이며, 행렬은 벡터의 공간 변환과 학습 계산을 가능하게 해주는 역할을 한다.또한 빅데이터의 상관관계를 파악하는 데는 눈에 보이는 정보 기저에 정보의 차원에 대한 이해가 필수적이다.(7장 정보의 차원) 가령 세포 하나 당 2만 개의 유전자가 발현되는데 이런 세포 100만 개는 어떻게 분석하는가? 등의 질문을 던지며 앞으로의 시대를 견인해나갈 까다롭고 어려운 수학 개념들을 차근차근 설명하고 있다. 김민형 교수가 평생에 걸쳐 헌신한 연구 주제이자, 현재 AI 기술의 핵심이라 할 수 있는 대수 기하학에 관하여 구체적이면서도 직관적으로 이해 가능한 언어로 설명하고 있어 현대수학의 정수를 체험할 수 있다.

■ 인간의 사고, 세계와 자연의 본질을 찾아온 질문의 기나긴 여정을 추적하다
: 진화하는 세계의 관계와 질서에 관한 어느 거장의 아름답고 집요한 탐구

수학으로 세상을 본다는 것은 무슨 의미일까? 이 책은 ‘눈이 보이지 않는 사람이 기하를 이해할 수 있는가?’와 같은 심오한 질문을 던지면서 인간이 보고 듣는 것, 나아가 우주의 실체를 보고, 듣고, 파악한다는 것이란 ‘모양과 실체를 파악하는 일’ 즉, 물질들

작가정보

저자(글) 김민형

저자 : 김민형
영국 워릭대학교 제이만zeeman 석좌교수

AI 시대, 상식의 언어로 수학의 대중화를 이끄는 세계적 수학자. 영국 워릭대 수학과 및 수학 대중교육 석좌교수이다(세계 최초로 수학 대중화 분야 교수로 선임). 서울대학교 수학과를 졸업, 미국 예일대학교에서 박사학위를 받았다. 매사추세츠공과대학 연구원, 컬럼비아대학교 조교수, 퍼듀대 학교 교수, 유니버시티칼리지 런던 석좌교수를 거쳤으며, 한국인 최초의 옥스퍼드대 수학과 교수를 지냈다. 국내에서는 포스텍의 석좌교수, 서울대학교와 이화여자대학교 초빙 석좌교수를 역임하였으며, 현 서울고등과학원 석학 교수이다.
김민형 교수는 ‘페르마의 마지막 정리’에서 유래된 산술 대수 기하학의 고전적인 난제를 위상수학의 혁신적인 방식으로 해결하여 세계적 수학자의 반열에 올랐고, 2012년 호암과학상을 수상했다. 오일러 도서상을 수상한 수학자 조던 엘렌버그는 그를 두고 “약 3천 년간이나 수와 수 체계의 이론을 연구해왔지만 실제 탄생한 이론은 많지 않다. 누군가 진짜 새로운 방식으로 그 작업을 해낼 때마다 큰 사건이 된다. 김민형이 그 일을 실제로 해냈다”고 평했다.
대중을 위한 과학 커뮤니케이션이 화두로 떠오른 시대, 김 민형 교수는 영국과 한국을 오가며 일반인들을 수학의 세계로 안내하는 교육 실험에 헌신하고 있다. 카오스재단의 메인마스터로 활동하며, 웅진재단, 네이버커넥트재단 등 에서 수학영재를 위한 강의 및 멘토링프로그램을 기획하고 참여했다.
2018년 출간된 《수학이 필요한 순간》은 8만 독자의 환호를 받았고, 바야흐로 수학 교양서 시대를 열었다. 지은 책으로《수학의 수학》,《소수 공상》,《아빠의 수학여행》,《수학자들》(공저) 등이 있다.