허수란 무엇인가?
허수의 기본과 응용을 안다!
아이뉴턴(뉴턴코리아)
2020년 07월 02일 출간
국내도서 : 2020년 06월 15일 출간
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작품소개
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허수의 기본과 응용을 안다!
17세기 프랑스의 철학자이자 수학자인 데카르트가 그 존재를 인정하지 않고 ‘상상의 수’라고 불렀던 기묘한 수가 있다. 학교 수학에서 배우는 ‘허수’이다. 허수의 어떤 성질이 기묘한 것일까? 양수나 음수 모두 제곱하면(두 번 곱하면) 반드시 양수가 된다. 하지만 허수는 ‘제곱하면 음수가 된다.’는 특성이 있다. 그와 같은 수는 실제로는 존재하지 않는 수이다. 그러면 왜 학교에서 허수를 배울까? 그 이유는 수학에서 허수가 매우 중요한 역할을 하기 때문이다. 실은 허수는 수학뿐만 아니라 물리학, 그리고 경제 활동의 분석 등에서도 반드시 필요한 존재이다. 단적인 예로 허수가 없으면 우리는 전자 1개의 움직임조차 올바로 알 수 없다. 즉 휴대폰이나 컴퓨터 같은 문명의 이기인 전자 제품을 만드는 데도 허수가 그 바탕을 이루는 것이다.
이 책은 2009년에 초판이 발행되어 호평을 받은 《허수란 무엇인가?》의 완전 개정판이다. 허수의 기본과 그 응용에 대해 새로운 방식으로 쉽게 설명하는 것은 물론, 보충 학습 자료에 해당하는 새로운 특집 기사를 덧붙이는 대대적인 개정을 통해 더 재미있고 읽기 쉬운 내용으로 만들었다. 인류가 허수에 이르기까지의 수 확장의 역사와 허수의 성질, 그리고 수학과 물리학에서 허수가 어떻게 도움이 되는지를 알기 쉽게 소개한 이 책을 통해, 허수의 핵심과 그 신비한 세계를 한 번에 확인하기 바란다.
17세기 프랑스의 철학자이자 수학자인 데카르트가 그 존재를 인정하지 않고 ‘상상의 수’라고 불렀던 기묘한 수가 있다. 학교 수학에서 배우는 ‘허수’이다. 허수의 어떤 성질이 기묘한 것일까? 양수나 음수 모두 제곱하면(두 번 곱하면) 반드시 양수가 된다. 하지만 허수는 ‘제곱하면 음수가 된다.’는 특성이 있다. 그와 같은 수는 실제로는 존재하지 않는 수이다. 그러면 왜 학교에서 허수를 배울까? 그 이유는 수학에서 허수가 매우 중요한 역할을 하기 때문이다. 실은 허수는 수학뿐만 아니라 물리학, 그리고 경제 활동의 분석 등에서도 반드시 필요한 존재이다. 단적인 예로 허수가 없으면 우리는 전자 1개의 움직임조차 올바로 알 수 없다. 즉 휴대폰이나 컴퓨터 같은 문명의 이기인 전자 제품을 만드는 데도 허수가 그 바탕을 이루는 것이다.
이 책은 2009년에 초판이 발행되어 호평을 받은 《허수란 무엇인가?》의 완전 개정판이다. 허수의 기본과 그 응용에 대해 새로운 방식으로 쉽게 설명하는 것은 물론, 보충 학습 자료에 해당하는 새로운 특집 기사를 덧붙이는 대대적인 개정을 통해 더 재미있고 읽기 쉬운 내용으로 만들었다. 인류가 허수에 이르기까지의 수 확장의 역사와 허수의 성질, 그리고 수학과 물리학에서 허수가 어떻게 도움이 되는지를 알기 쉽게 소개한 이 책을 통해, 허수의 핵심과 그 신비한 세계를 한 번에 확인하기 바란다.
서론
인류는 수의 세계를 확장해 왔다 / 허수와 관련된 수학자·물리학자의 역사 연표
제1장 허수 탄생의 길
자연수 / 0(영) / 음수 / 음수의 곱셈 / 유리수 ①~② / 무리수 / 실수
Column
소수의 표기법은 16세기에 태어났다 / 피타고라스는 유리수가 수의 전부라고 믿었다 / 고대 메소포타미아의 점토판에 새겨진 √2 / 고대인은 제곱근을 이렇게 작도했다 / √2가 무리수임을 증명한다 / √2를 분수로 나타내는 방법-연분수 / 방정식이란 무엇인가?
Topics
실수의 완성과 무한의 개념
제2장 허수란 무엇인가?
허수란 무엇인가? / 풀리지 않는 문제 / 허수의 탄생 ①~② / 시민권을 얻은 허수
Column
‘2차 방정식’에는 실수로는 답이 나오지 않는 것이 있다 / 4000년의 역사를 가진 ‘2차 차 방정식’ / 2차 방정식의 ‘근의 공식’으로 카르다노의 문제를 푸는 방법 / 허수 탄생의 계기는 16세기의 ‘수학 승부’ / 도박을 좋아해, 확률론의 발전에도 기여한 카르다노
Q&A
복소평면을 왜 ‘가우스 평면’이라고 할까? / 허수에 대소가 있는가?
제3장 허수와 복소수
복소수를 나타내는 법 / 복소수의 덧셈 / 복소수의 곱셈 ①~② / 허수로 푸는 불가사의한 퍼즐 ①~② / 가우스와 복소수 ①~② / 수 확장의 종착역
Column
‘카르다노의 문제’를 복소평면으로 확인해 보자 / ‘음수×음수는 왜 양수일까? / 복소수의 ‘극형식(極形式)’이란? / ‘대수학의 기본 정리’의 증명 / 프랙털과 복소수 / 복소수 뉴턴 방법에 의한 프랙털
Q&A
-1의 4제곱근, 8제곱근, 16제곱근은?
Topics
황금비와 복소수로 정오각형을 작도해 보자
제4장 인류의 보물 오일러의 공식
삼각 함수 / 테일러 전개 ①~② / 허수 제곱 / 오일러의 두 가지 식 / π와 i와 e / 오일러의 공식을 바라본다 / 오일러의 공식은 왜 중요한가?
Column
삼각함수란 무엇인가? / 자연로그의 밑 e란 무엇인가? / 원주율 π란 무엇 인가? 대수학의 기초를 세운 천재 수학자 오일러 - 오일러
제5장 허수와 물리학
빛·천체와 허수 / 4차원 시공과 허수 ①~② / 미지의 입자와 허수
양자 역학과 허수 ①~③
Q&A
실재하지 않는 허수가 왜 자연계와 관계가 있을까?
Topics
양자 역학에는 왜 복소수가 등장할까? / ‘고바야시·마스카와 이론’에서도 허수가 활약한다
인류는 수의 세계를 확장해 왔다 / 허수와 관련된 수학자·물리학자의 역사 연표
제1장 허수 탄생의 길
자연수 / 0(영) / 음수 / 음수의 곱셈 / 유리수 ①~② / 무리수 / 실수
Column
소수의 표기법은 16세기에 태어났다 / 피타고라스는 유리수가 수의 전부라고 믿었다 / 고대 메소포타미아의 점토판에 새겨진 √2 / 고대인은 제곱근을 이렇게 작도했다 / √2가 무리수임을 증명한다 / √2를 분수로 나타내는 방법-연분수 / 방정식이란 무엇인가?
Topics
실수의 완성과 무한의 개념
제2장 허수란 무엇인가?
허수란 무엇인가? / 풀리지 않는 문제 / 허수의 탄생 ①~② / 시민권을 얻은 허수
Column
‘2차 방정식’에는 실수로는 답이 나오지 않는 것이 있다 / 4000년의 역사를 가진 ‘2차 차 방정식’ / 2차 방정식의 ‘근의 공식’으로 카르다노의 문제를 푸는 방법 / 허수 탄생의 계기는 16세기의 ‘수학 승부’ / 도박을 좋아해, 확률론의 발전에도 기여한 카르다노
Q&A
복소평면을 왜 ‘가우스 평면’이라고 할까? / 허수에 대소가 있는가?
제3장 허수와 복소수
복소수를 나타내는 법 / 복소수의 덧셈 / 복소수의 곱셈 ①~② / 허수로 푸는 불가사의한 퍼즐 ①~② / 가우스와 복소수 ①~② / 수 확장의 종착역
Column
‘카르다노의 문제’를 복소평면으로 확인해 보자 / ‘음수×음수는 왜 양수일까? / 복소수의 ‘극형식(極形式)’이란? / ‘대수학의 기본 정리’의 증명 / 프랙털과 복소수 / 복소수 뉴턴 방법에 의한 프랙털
Q&A
-1의 4제곱근, 8제곱근, 16제곱근은?
Topics
황금비와 복소수로 정오각형을 작도해 보자
제4장 인류의 보물 오일러의 공식
삼각 함수 / 테일러 전개 ①~② / 허수 제곱 / 오일러의 두 가지 식 / π와 i와 e / 오일러의 공식을 바라본다 / 오일러의 공식은 왜 중요한가?
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삼각함수란 무엇인가? / 자연로그의 밑 e란 무엇인가? / 원주율 π란 무엇 인가? 대수학의 기초를 세운 천재 수학자 오일러 - 오일러
제5장 허수와 물리학
빛·천체와 허수 / 4차원 시공과 허수 ①~② / 미지의 입자와 허수
양자 역학과 허수 ①~③
Q&A
실재하지 않는 허수가 왜 자연계와 관계가 있을까?
Topics
양자 역학에는 왜 복소수가 등장할까? / ‘고바야시·마스카와 이론’에서도 허수가 활약한다
인물정보
저자 : 뉴턴프레스
감수·협력·집필
이소다 마사미 ?田正美 / 일본 쓰쿠바(筑波) 대학 교육개발국제협력연구센터장·교수, 교육학 박사
기무라 ?이치 木村俊一 / 일본 히로시마 대학 대학원 이학연구과 교수, Ph.D.
고타니 요시유키 小谷善行 / 일본 도쿄 농공대학 명예 교수, 공학 박사
와다 스미오 和田純夫 / 일본 세이케이(成蹊) 대학 비상근 강사, 전 도쿄 대학 대학원 종합문화연구과 전임 강사, 이학 박사
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