단계별 수학 기초: 개념에서 증명까지

논리에서 시작해 함수와 수열까지 기초를 증명으로 세우다 (선형대수, 그래프이론, 미분방정식, 미적분)

지식이야기 교양지식팀 지음

지식이야기 2026년 02월 10일 출간

작품소개

책소개

“단계별 수학 기초: 개념에서 증명까지”는 수학을 이루는 최소 핵심을 순서대로 쌓아 올리도록 구성된 기초 안내서입니다. 단순히 공식을 나열하거나 문제 풀이 요령을 강조하기보다, 정의가 무엇을 뜻하는지, 조건이 어떻게 결론을 이끄는지, 그리고 그 연결을 어떤 방식으로 증명하는지에 초점을 맞춥니다.

이 책은 수학적 언어와 표기에서 출발해 논리와 증명의 형식을 먼저 정리하고, 집합과 수의 구조, 식의 변형과 방정식·부등식의 해석으로 이어집니다. 이후 함수와 좌표, 도형의 기본 개념을 통해 수학의 표현 방식을 확장하며, 경우의 수와 확률, 수열과 귀납법을 통해 “규칙을 발견하고 엄밀하게 확인하는 과정”을 마무리로 다룹니다. 각 장은 개념의 정의, 성질의 정리, 그리고 간단한 증명 흐름을 통해 독자가 스스로 논리의 빈틈을 점검할 수 있도록 설계되어 있습니다.

학습자의 배경 지식이 달라도 따라올 수 있도록, 내용은 기초 개념의 정확한 의미와 필수 성질에 집중합니다. 불필요한 응용, 개인적 경험담, 고급 테크닉은 배제하고, 수학을 이해하는 데 꼭 필요한 언어와 구조를 선명하게 제시합니다. 수학을 다시 시작하려는 사람, 기초를 단단히 하고 싶은 학습자, 그리고 증명이 낯설어 개념이 흔들리는 독자에게 이 책은 “수학을 읽고 쓰는 방법”을 차근차근 안내하는 첫 번째 길잡이가 될 것입니다.


*생성형 인공지능을 활용하여 제작하고 편집 과정을 거쳤습니다. 편집자의 최종 검토를 거쳐 제작되었습니다.

목차

Chapter 1 수학적 언어와 표기
명제와 서술어의 의미
조건과 결론의 구조
대우, 역, 이의 구분
필요조건과 충분조건
집합 표기와 원소 관계
등호와 부등호의 사용 규칙

Chapter 2 논리와 증명의 기본 형식
직접증명의 흐름
대우증명의 구성
귀류법의 핵심 구조
경우 나누기의 원칙
반례의 역할과 한계
정의에서 출발하는 증명
정리, 보조정리, 따름정리의 관계

Chapter 3 집합과 연산
부분집합과 포함관계
합집합, 교집합, 차집합
여집합과 전체집합
분배법칙과 드모르간 법칙
서로소와 분할
카르테시안 곱과 순서쌍

Chapter 4 수와 연산의 구조
자연수, 정수, 유리수, 실수의 확장
사칙연산의 성질과 정리
절댓값의 정의와 성질
지수의 정의와 법칙
근호의 의미와 연산 규칙
수의 대소비교 원리

Chapter 5 식과 변형
문자와 식의 역할
동치변형의 기준
전개와 인수분해의 원리
항등식과 방정식의 구분
유리식의 정의역과 약분 조건
무리식의 변형과 제곱의 주의점
식의 대칭성과 치환

Chapter 6 방정식과 부등식의 기초
일차방정식의 해 구조
이차방정식의 근과 판별식
연립방정식의 해석
절댓값 방정식의 경우분류
일차부등식의 해집합
이차부등식의 부호 분석
부등식 변형에서의 부호 전환

Chapter 7 함수의 정의와 기본 성질
함수의 정의와 대응
정의역, 공역, 치역의 구분
함수의 값과 그래프의 연결
합성함수의 의미와 조건
역함수의 존재 조건
함수의 증가와 감소의 개념
대칭성과 주기성의 기본 형태

Chapter 8 좌표와 도형의 기초
좌표평면의 거리와 중점
직선의 방정식과 기울기
두 직선의 관계 조건
원의 방정식의 구성
벡터의 성분과 덧셈
내적의 정의와 직교 조건
도형의 방정식 해석

Chapter 9 경우의 수와 확률의 기초
덧셈원리와 곱셈원리
순열의 의미와 계산
조합의 의미와 계산
이항정리의 기본 형태
표본공간과 사건의 정의
확률의 기본 성질
조건부확률의 정의 구조

Chapter 10 수열의 기본 개념과 증명 연습
수열의 정의와 항의 표현
등차수열의 구조와 합
등비수열의 구조와 합
점화식의 의미와 해석
수학적 귀납법의 형식
귀납법에서의 가정과 결론
간단한 부등식 귀납 증명

인물정보

저자(글) 지식이야기 교양지식팀

수학에 대한 관심을 바탕으로 독자 니즈와 시장 흐름을 꾸준히 연구하며, 복잡한 내용을 핵심 개념 중심으로 쉽게 정리한 지식콘텐츠를 성실히 제작하고 있습니다.