스토캐스틱 프로세스 입문: 확률과정의 기초 이론

확률과정의 정의부터 브라운 운동까지

지식이야기 제작팀 지음

지식이야기 2026년 01월 02일 출간

작품소개

책소개

“스토캐스틱 프로세스 입문: 확률과정의 기초 이론”은 확률과정을 처음 접하는 독자를 위해, 용어 나열이나 요약식 정리 대신 ‘무엇을 어떻게 정의하고, 어떤 성질이 논리적으로 따라오는가’에 초점을 맞춘 기초 안내서다. 확률과정이 단순히 시간에 따라 변하는 확률변수의 모음이 아니라, 분포와 정보 구조, 그리고 경로의 성질을 함께 포함하는 수학적 대상임을 차근차근 드러낸다.

이 책은 확률 공간과 여과, 조건부기대값 같은 기반 구조에서 출발해 마르코프 성질, 포아송 과정, 브라운 운동, 마팅게일로 이어지는 표준적인 핵심 과정들을 엄밀하지만 부담스럽지 않게 다룬다. 각 장은 정의, 전이 구조, 수렴과 부등식, 정지시간과 같은 공통 도구가 다양한 과정에서 어떻게 반복적으로 등장하는지 보여 주며, 독자가 개념 간 연결을 자연스럽게 형성하도록 구성되어 있다.

또한 연속시간 마르코프 과정의 생성자 관점, 확률적 적분의 최소한의 형식화, 확률 미분방정식의 기본 틀까지 이어지되, 특정 분야의 고급 응용이나 경험 중심의 서술은 배제했다. 독자는 과정별 핵심 성질을 ‘외우는 방식’이 아니라, 정의와 구조로부터 결과가 도출되는 흐름을 따라가며 스토캐스틱 이론의 뼈대를 세울 수 있다.

전체적으로 이 책은 확률과정의 기본 언어를 정확히 익히고, 대표 과정들의 표준 성질을 흔들림 없이 이해하는 것을 목표로 한다. 수식은 결론을 장식하기 위한 것이 아니라, 개념을 명확히 고정하고 논리를 전달하기 위한 도구로 사용된다. 확률과정의 기초 이론을 체계적으로 정리하고 싶은 독자에게, 단단한 출발점이 되어 줄 것이다.
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목차

챕터 1 확률과정의 형식적 틀
표본공간과 사건, 확률측도의 역할
확률변수와 확률과정의 구분
시간 지수집합과 상태공간의 선택
유한차원 분포와 과정의 규정
경로 함수와 궤적 관점
자연 여과와 정보의 흐름

챕터 2 분포와 조건부 구조
공동분포와 주변분포의 관계
조건부확률의 정의와 해석
조건부기대값의 성질
정규분포와 다변량 정규의 구조
독립성과 조건부 독립성
특성함수와 분포의 식별
정규화와 스케일 변환

챕터 3 마르코프 성질과 전이 구조
마르코프 성질의 정의
전이확률과 전이커널
시간균질성과 반군 성질
전이행렬과 이산 상태공간
흡수상태와 재귀성의 개념
정지시간과 강한 마르코프 성질
불변분포의 존재 조건

챕터 4 포아송 과정
증분의 독립성과 정상성
지수분포와 대기시간 표현
사건수 분포와 갱신 성질
무기억성의 논리적 귀결
희박화와 중첩의 성질
조건부 구조와 균등성
과정의 경로 성질

챕터 5 브라운 운동
정의와 기본 공리
가우시안 증분과 공분산
연속 경로와 비미분가능성
스케일링과 자기유사성
최대값과 반사원리의 아이디어
정지시간과 선택정리의 형태
마르코프 성질의 구현

챕터 6 마팅게일
조건부기대값 기반 정의
여과에 대한 적합성과 성질
서브마팅게일과 슈퍼마팅게일
정지정리의 조건과 결론
균등적분가능성과 수렴
도옵 분해의 기본 형태
부등식과 경계 추정의 논리

챕터 7 이산시간 과정의 생성과 해석
확률과정의 재귀적 구성
마르코프 사슬의 갱신 방정식
전이행렬의 거듭제곱과 분포 진화
히팅타임과 흡수확률
정상분포와 평형의 의미
가역성의 정의와 조건
기댓값과 분산의 계산 구조

챕터 8 연속시간 마르코프 과정의 기초
발생률과 짧은 시간 근사
생성자와 콜모고로프 방정식
Q-행렬과 전이함수의 조건
점프 시간과 궤적의 구성
흡수와 폭발의 개념
반군과 해석적 성질
정지시간과 선택 원리

챕터 9 확률적 적분의 최소 이론
단순 과정과 적분의 정의
이토 등거리와 기본 결과
이토 공식의 의미와 형태
브라운 운동에 대한 적분 해석
적합성과 여과 조건
이차변동과 계산 규칙
적분의 수렴 구조

챕터 10 기초 확률 미분방정식
확률 미분방정식의 형식
존재성과 유일성의 조건 틀
해의 적합성과 경로 성질
선형 방정식의 기본 해법
확률적 미분 규칙과 이토 해석
모멘트와 분포의 기본 성질
안정성과 경계 개념

인물정보

저자(글) 지식이야기 제작팀

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